문제
수열 완성하기
저마다 다른 규칙으로 만들어진 수의 나열 네 개입니다. (1) 2, □, 10, 14, 18, 22, … (2) 3, 6, 9, 2, 3, □, 9, 2, 3, 6, … (3) 2, 3, 5, 8, 12, □, □, … (4) 1, 2, 5, 14, 41, □, 365, …. 규칙을 알아내어 □에 알맞은 수를 써넣습니다.
사고력 · 초4-1 수열
내 답
조심 첫 줄의 규칙을 그대로 쓰고 싶지만 네 줄의 규칙이 모두 달라 줄마다 새로 읽어야 합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 규칙은 수들 속에 숨어 있으므로 어느 줄이든 첫 수는 같다. 이웃한 두 수의 차를 그 아래에 한 줄로 적어 보는 것이다. 차가 모두 같으면 같은 수를 계속 더하는 규칙이고, 차 자체가 일정하게 커지면 더하는 크기가 자라는 규칙이다. 그런데 차가 아무 말도 해 주지 않는다면 그것은 수가 커지는 것이 아니라 되풀이된다는 신호이므로, 그때는 되풀이되는 마디가 몇 개짜리인지를 대신 센다. 어떤 규칙을 잡든 □를 채우기 전에 적혀 있는 모든 수로 검사한다. 특히 (4)는 □ 뒤에도 수가 적혀 있어서 그 검사를 확실하게 해 준다.
1STEP 1
네 줄 모두 같은 첫 수로 시작하기
줄마다 먼저 이웃한 두 수의 차를 적습니다.
수 자체가 아니라 한 번에 얼마씩 뛰는지를 보는 순간, 눈에 보이지 않던 규칙이 드러난다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2STEP 2
(1) 일정하게 더하는 규칙 찾기
(1)은 4씩 더하는 줄이라 □는 6입니다.
2 + 4 = 6, 6 + 4 = 10
더하는 수가 일정하면 □ 앞의 수에서 걸어 나가 □ 뒤의 수에 정확히 내려앉을 수 있다. 그래서 앞뒤 양쪽에서 한꺼번에 확인된다.
4.OA.C.5Look For A Pattern간격이 일정하면 빈칸 앞의 수에서 앞으로 걸어가 빈칸 뒤의 수에 닿을 수 있으므로, 빈칸이 양쪽에서 확인된다.
왜?
모든 항은 앞 항에 같은 크기의 뜀을 더한 것이므로, 어떤 항이든 이웃에서 한 번 뛰어 닿을 수 있다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
왜?
빈칸 뒤의 수에서 뒤로 밟는 것은 앞으로 밟는 것을 되돌리므로, 두 경로는 같은 값에 닿아야 한다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
3STEP 3
(2) 커지는 것이 아니라 되풀이됨을 알아채기
(2)는 커지지 않고 네 수가 되풀이됩니다.
3, 6, 9, 2 ∣ 3, 6, 9, 2 ∣ 3, 6
네 개씩 줄을 바꿔 가며 써 보면 같은 수가 세로로 나란히 서기 때문에, 어디서 다시 시작하는지 어림짐작하는 것보다 훨씬 확실하게 마디의 길이가 보인다.
4.OA.C.5Make A Systematic List4STEP 4
(2) □ 읽어 내기
되풀이되는 자리를 세면 (2)의 □는 6입니다.
6 = 4 + 2
마디의 길이만 알면 몇 번째 수든 마디만큼씩 되돌아가 첫 마디 안에 내려앉으면 된다. 공식 없이 세기만 하면 되는 일이다.
4.OA.C.5Make A Systematic List5STEP 5
(3) 자라나는 차 찾기
(3)은 차가 1씩 자라서 □는 17과 23입니다.
12 + 5 = 17, 17 + 6 = 23
수 자체에서 규칙이 보이지 않을 때도 차에서는 보이는 경우가 많다. 여기서는 차가 1부터 세는 수 그대로여서 한눈에 들어온다.
4.OA.C.5Look For A Pattern6STEP 6
(4) 먼저 차부터 살펴보기
(4)는 차가 3배씩 커지므로 □는 122입니다.
1, 3, 9, 27, 81 41 + 81 = 122
차를 적어 놓고 보면 3배씩 커진다는 것이 금방 보이고, 필요한 계산도 3을 곱하는 것뿐이다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern7STEP 7
(4) 적혀 있는 365로 검사하기
적혀 있는 365가 나와야 규칙이 맞습니다.
122 + 243 = 365, 41 × 3 - 1 = 122, 122 × 3 - 1 = 365
□ 건너편에 적혀 있는 수는 공짜 시험지와 같다. 짐작한 규칙이 365에도 그대로 내려앉는다면 그 규칙이 출제자가 생각한 규칙일 가능성이 아주 높다.
4.NBT.B.5Guess And Check정답
6, 6, 17과 23, 122
네 답 모두 이웃한 수들 사이에 알맞게 놓인다. (1)의 6은 2와 10 사이에 있고, (2)의 6은 되풀이되는 마디 안에 이미 나오는 수이며, (3)의 17과 23은 뛰는 크기가 점점 커지는 줄이므로 앞의 4보다 큰 폭으로 뛴 것이 맞고, (4)의 122는 41과 365 사이에 있어서 차가 계속 3배로 커지는 줄에 어울린다. 게다가 어느 규칙도 □ 옆 수만 보고 맞춘 것이 아니다. (1)은 서로 다른 세 개의 차로, (2)는 적혀 있는 일곱째·여덟째·아홉째·열째 수로, (3)은 적혀 있는 네 개의 차 전부로, (4)는 적혀 있는 365로 각각 검사를 마쳤다.
핵심 정리
수 아래에 이웃한 두 수의 차부터 적어 보세요. 차가 모두 같으면 같은 수를 더하는 규칙, 차가 커지면 더하는 크기가 자라는 규칙, 차에서 아무것도 안 보이면 짧은 마디가 되풀이되는 규칙입니다.
- 네 줄 모두 같은 첫 수로 시작하기
- (1) 일정하게 더하는 규칙 찾기
- (2) 커지는 것이 아니라 되풀이됨을 알아채기
- (2) □ 읽어 내기
- (3) 자라나는 차 찾기
- (4) 먼저 차부터 살펴보기
- (4) 적혀 있는 365로 검사하기
이어서 풀어볼까요