문제
몇 번째 수 구하기
가는 4, 11, 18, 25, 32, 39 …로 이어집니다. 나는 253, 249, 245, 241, 237 …로 이어집니다. 두 줄 모두 자기 규칙대로 계속 이어집니다. 각 줄의 25번째 수를 구해 어느 쪽이 얼마나 더 큰지 구합니다.
사고력 · 초4-1 수열
내 답
조심 25번째니까 25번 더하고 싶지만, 첫 카드는 이미 놓여 있어 걸음은 24번입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 두 줄 다 카드 25장을 끝까지 적어도 되기는 하지만 느리고 중간에 삐끗하기 쉽다. 그러니 각 줄에서 한 걸음마다 변하는 일정한 양을 먼저 찾고, 1번째 카드에서 25번째 카드까지 몇 걸음인지를 센다. 자리 번호와 수를 나란히 늘어놓아 보면 걸음 수가 눈에 들어온다. 그리고 찾아낸 규칙을 이미 적혀 있는 카드에 한 번 시험해 보면, 그 규칙을 25번째까지 믿고 써도 되는지 미리 확인할 수 있다.
1STEP 1
각 줄에서 한 걸음의 크기 찾기
가는 7씩 늘고 나는 4씩 줄어듭니다.
가: 한 걸음마다 +7 나: 한 걸음마다 -4
첫 두 카드만이 아니라 이웃한 모든 카드의 차를 다 확인해야 한다. 그래야 걸음의 크기가 늘 같다고 마음 놓고 말할 수 있다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2STEP 2
카드가 아니라 걸음을 세기
25번째까지 걸음은 24번입니다.
25번째 카드까지의 걸음 수 = 25 - 1 = 24
말뚝 25개를 나란히 박았을 때 사이 간격이 몇 개인지 세는 것과 똑같다. 간격은 늘 말뚝보다 하나 적다.
4.OA.C.5Make A Systematic List스물다섯 번째 카드에 닿으려면 스물다섯 번이 아니라 스물네 번 뛰어야 하는데, 줄에는 언제나 카드보다 틈이 하나 적기 때문이다.
왜?
각 뜀은 이웃한 카드 한 쌍 사이에 정확히 하나씩 놓이므로, 뜀과 카드 사이의 틈이 하나씩 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
모든 뜀의 크기가 같으므로, 스물다섯 번째 카드는 첫 카드에 그 뜀을 스물네 번 되풀이해 더한 것이다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
3STEP 3
이미 적혀 있는 카드로 규칙 시험해 보기
이미 적힌 39와 237로 셈이 맞는지 시험합니다.
4 + 5 × 7 = 4 + 35 = 39 253 - 4 × 4 = 253 - 16 = 237
답이 이미 적혀 있는 작은 경우로 규칙을 시험해 보는 것이 곧 규칙이 맞다는 증거다. 게다가 곱셈 한 번이면 끝난다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
가의 25번째 수 구하기
가의 25번째는 4 + 24 × 7 = 172입니다.
4 + 24 × 7 = 4 + 168 = 172
7짜리 걸음 24번은 결국 7씩 24묶음이다. 그러니 7을 스물네 번 더하는 대신 곱셈 한 번이면 된다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern5STEP 5
나의 25번째 수 구하기
나의 25번째는 253 − 24 × 4 = 157입니다.
253 - 24 × 4 = 253 - 96 = 157
줄어드는 규칙도 늘어나는 규칙과 다루는 방법이 같다. 24걸음의 방향만 반대일 뿐이니 곱한 다음 빼면 된다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern6STEP 6
두 25번째 수 비교하기
가가 15만큼 더 큽니다.
172 - 157 = 15
두 수를 모두 보통의 자연수로 적어 놓고 나면, 비교는 평범한 뺄셈일 뿐이다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List정답
가, 15 만큼 큼
172 − 157 = 15
처음에는 두 줄의 차이가 컸다. 나가 가보다 249나 위에서 시작한다. 그런데 한 걸음마다 7 + 4 = 11씩 좁혀지니 24걸음이면 24 × 11 = 264만큼 좁혀진다. 249 벌어져 있던 것이 264만큼 좁혀지면 이제는 가가 264 - 249 = 15만큼 앞선다. 앞에서 구한 차와 똑같다. 크기도 그럴듯하다. 가는 4에서 172까지 꾸준히 자라고, 나는 253에서 157까지 줄었지만 여전히 0보다 크니 두 답 모두 이상할 것이 없다.
핵심 정리
25번째 수를 찾을 때는 카드를 세지 말고 걸음을 세세요. 걸음은 24번이고, 스물네 번 더하는 대신 곱셈 한 번이면 됩니다.
- 각 줄에서 한 걸음의 크기 찾기
- 카드가 아니라 걸음을 세기
- 이미 적혀 있는 카드로 규칙 시험해 보기
- 가의 25번째 수 구하기
- 나의 25번째 수 구하기
- 두 25번째 수 비교하기
이어서 풀어볼까요