문제
계단식 배열
곱셈식이 5 × 5, 15 × 15, 25 × 25, 35 × 35로 계단처럼 이어집니다. 점 세 개는 같은 방식으로 계속된다는 뜻입니다. 각 수를 답으로 바꿔 주는 규칙을 알아냅니다. 그 규칙으로 495 × 495를 구합니다.
사고력 · 초4-1 수 배열표
내 답
조심 앞부분을 십의 자리 수의 제곱으로 읽기 쉽지만 바로 다음 수와의 곱입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 25, 225, 625, 1225 네 답은 그냥 보면 서로 아무 상관이 없어 보인다. 그런데 두 조각으로 잘라 보면 달라진다. 넷 다 25로 끝나므로 각 답을 '앞부분'과 '뒤의 25'로 나누고, 앞부분을 곱해진 수와 나란히 놓아 본다. 앞부분이 작은 곱셈으로 읽히는 순간 규칙이 드러난다. 그러면 문제에 적히지 않은 줄로 먼저 시험해 보고, 통한다는 것을 확인한 뒤에 495에 쓴다.
1STEP 1
모든 답이 25로 끝난다는 것 알아채기
답이 모두 25로 끝납니다.
25, 2|25, 6|25, 12|25
네 답을 모두 같은 자리에서 자르면, 달라 보이던 수들이 고정된 부분 하나와 변하는 부분 하나로 정리된다. 이제 설명이 필요한 것은 변하는 쪽뿐이다.
4.NBT.A.2Organize Information In More Ways2STEP 2
앞부분을 십의 자리 수와 나란히 놓기
앞부분은 0, 2, 6, 12로 십의 자리 수를 따라갑니다.
0 → 0, 1 → 2, 2 → 6, 3 → 12
넣은 값과 나온 값을 표처럼 나란히 적어 두는 것, 그것이 숨은 규칙을 눈에 보이게 만든다.
4.OA.C.5Organize Information In More Ways3STEP 3
앞부분을 곱셈으로 읽기
앞부분은 그 수와 다음 수의 곱입니다.
0 × 1 = 0, 1 × 2 = 2, 2 × 3 = 6, 3 × 4 = 12
이어지는 두 수를 곱하는 것은 어린 학생도 일찍 만나는 익숙한 패턴이다. 그래서 나온 값을 0, 2, 6, 12로 적어 놓기만 하면 규칙이 한눈에 보인다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
적혀 있지 않은 줄로 규칙 시험하기
적히지 않은 45 × 45로 시험하면 2025가 맞습니다.
45 × 45 = 1800 + 225 = 2025
보기 네 개에서 찾아낸 규칙은 다섯째 줄을 맞히기 전까지는 아직 짐작일 뿐이다. 마침 45 × 45는 정직하게 계산해 볼 만큼 작다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem네 줄에서 찾아낸 규칙은 적혀 있지 않은 줄을 옳게 예측하기 전까지는 짐작에 머문다.
왜?
규칙이 틀린 답을 내놓는 줄이 하나만 있어도 그것이 거짓임이 증명되므로, 보지 않은 줄을 확인하는 일은 형식이 아니라 진짜 검사다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
앞부분은 한결같이 자라나는 방식으로 올라가므로, 들어오는 수가 커져도 규칙이 계속 통해야 한다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
5STEP 5
규칙을 495에 적용하기
49 × 50 = 2450이므로 답은 245025입니다.
49 × 50 = 2450 → 495 × 495 = 245025
규칙이 세 자리 수끼리의 곱셈을 두 자리 곱셈 한 번으로 바꿔 주었다. 게다가 50은 100의 절반이라 49 × 50은 계산하기도 쉽다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern정답
245025
49 × 50 = 2450
크기부터 어림해 보자. 495는 500에 가깝고 500 × 500 = 250000이므로 답은 250000보다 조금 작아야 한다. 245025는 딱 그 조금 아래이니 크기가 맞다. 끝 두 자리도 규칙대로 25이고, 앞부분 2450은 정확히 49 × 50이다. 곧바로 계산해 확인할 수도 있다. 495 × 495는 495 × 500에서 495 × 5를 뺀 것이니 247500 - 2475 = 245025이다.
핵심 정리
끝자리가 5인 수를 자기 자신과 곱하면, 앞부분에 다음 수를 곱하고 뒤에 25만 붙이면 끝입니다.
- 모든 답이 25로 끝난다는 것 알아채기
- 앞부분을 십의 자리 수와 나란히 놓기
- 앞부분을 곱셈으로 읽기
- 적혀 있지 않은 줄로 규칙 시험하기
- 규칙을 495에 적용하기
이어서 풀어볼까요