배수 판정법 (2)

여러 자리 수를 자리별로 읽는 것은 이미 익힌 일입니다. 새로운 것은 왼쪽이 아니라 오른쪽 끝에서부터 세기 시작한다는 점 하나뿐입니다.

한 자리 왼쪽으로 갈 때마다 자릿값이 10배가 된다는 사실 위에, 10을 거듭 곱한 수는 모두 11의 배수에서 1만큼 떨어져 있다는 관찰이 얹히면 더하기와 빼기가 번갈아 나오는 모양이 나옵니다.

한 자리 덧셈 두 번과 뺄셈 한 번으로 네 자리 수에 대한 물음이 끝납니다. 5283을 11로 직접 나누는 것보다 훨씬 적은 일입니다.

11도 11의 배수라는 점을 놓치지 않는 것이 판정법 넷째 단계의 핵심입니다. 차가 꼭 0이어야 하는 것이 아니라 11의 배수이기만 하면 됩니다.

여섯 자리 수에서는 두 무리에 숫자가 세 개씩 들어갑니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어 나가면서 두 무리를 아예 다른 칸에 적어 두면 숫자가 섞이지 않습니다.

이번에는 짝수 번째 자리 쪽 합이 더 큽니다. 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼도 괜찮습니다. 두 합이 얼마나 벌어져 있느냐만 답을 가르기 때문입니다.

자릿수는 열한 개지만 해야 할 일은 한 자리 덧셈 열한 번과 뺄셈 한 번뿐입니다. 일의 양은 수가 커진다고 늘어나는 것이 아니라 자릿수가 늘어날 때만 늘어납니다.

탈락한 수들을 보면 이 판정법이 무엇을 재고 있는지가 드러납니다. 홀수 번째 자리 합에서 짝수 번째 자리 합을 뺀 값을 부호까지 살려 두면, 그 값은 진짜 나머지와 11의 배수만큼만 차이가 납니다. 176234는 13-10=3이고 나머지도 3, 649325는 12-17=-5이고 나머지는 -5+11=6, 5283은 5-13=-8이고 나머지는 -8+11=3입니다.