문제
에라토스테네스의 체
1부터 100까지의 수가 상자 안에 적혀 있습니다. 1은 지워졌고 찾은 소수에는 동그라미, 그 배수에는 빗금이 있습니다. 그림은 35까지만 진행되어 있습니다. 체를 끝까지 돌려 소수가 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초5-1 소수와 약수
내 답
조심 100까지 모든 수로 지워야 할 것 같지만 10보다 큰 수로는 새로 지울 것이 없습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 수 100개를 하나씩 붙들고 약수를 찾아보려면 한나절이 걸립니다. 그래서 물음을 뒤집습니다. 소수를 찾아다니는 대신 소수가 될 수 없는 수를 지워 나가고, 살아남은 것을 답으로 삼는 것입니다. 2의 배수, 3의 배수, 5의 배수, 7의 배수를 지우는 일은 뛰어 세기라서 금방 끝납니다. 그다음에는 살아남은 수를 줄별로 적어 두 번 세거나 빠뜨리는 일이 없게 하고, 큰 덧셈 하나 대신 작은 덧셈 열 개를 합니다.
1STEP 1
그림이 이미 해 놓은 일 읽어 내기
빗금이 그어진 수는 다른 약수가 있는 수입니다.
지워진 수 = 1과 자기 자신 말고 다른 약수가 있는 수
어떤 수가 소수인지 합성수인지는 곱셈으로 만들어지는 수의 짝을 찾아보면 알 수 있습니다. 체는 그 일을 수 하나하나가 아니라 약수 쪽에서 출발해 백 개에 한꺼번에 해 주는 장치입니다.
4.OA.B.4Change Focus Count The Complement2STEP 2
체를 어디까지만 돌리면 되는지 따지기
10을 넘는 수로는 더 지울 것이 없습니다.
10 × 10 = 100, 11 × 11 = 121 ＞ 100
곱해서 어떤 수가 되는 두 수는 작은 쪽과 큰 쪽이 짝을 이룹니다. 작은 쪽이 10을 넘으면 큰 쪽은 더 넘으니 곱이 100을 훌쩍 지나가 버립니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern지워 나가는 소수가 100의 제곱근을 넘으면 체를 멈추어도 되는데, 남아 있는 것은 이미 소수이기 때문이다.
왜?
약수는 언제나 짝을 데려오므로, 어떤 수에 제곱근보다 큰 인수가 있다면 그보다 작은 인수도 이미 있었을 것이다.
🧱약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
왜?
그 작은 인수들은 이미 모두 훑었으므로, 살아남은 수는 가능한 모든 약수가 지워진 상태다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
36부터 100까지 마저 지우기
36부터 100까지 7의 배수까지만 마저 지웁니다.
49 = 7 × 7, 77 = 7 × 11, 91 = 7 × 13
2, 3, 5, 7씩 뛰어 세기는 빠르고 틀릴 일이 적습니다. 그래서 체가 수 하나하나를 따져 보는 것보다 낫습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
열 개씩 끊어서 살아남은 수 적기
열 개씩 끊어 살아남은 수를 적습니다.
1-10 &: 2, 3, 5, 7 ; 11-20 &: 11, 13, 17, 19 ; 21-30 &: 23, 29 ; 31-40 &: 31, 37 ; 41-50 &: 41, 43, 47 ; 51-60 &: 53, 59 ; 61-70 &: 61, 67 ; 71-80 &: 71, 73, 79 ; 81-90 &: 83, 89 ; 91-100 &: 97
백 개를 열 덩이로 잘라 놓으면 긴 셈 하나가 많아야 네 개짜리 셈 열 개로 바뀝니다. 빠뜨린 수가 있으면 눈에 바로 띄기도 합니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List5STEP 5
열 덩이의 개수 더하기
열 덩이를 더하면 25개입니다.
4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 + 1 = 25
한 자리 수 열 개는 금방 더해집니다. 4+4+2 = 10, 2+3+2 = 7, 2+3+2+1 = 8, 그리고 10+7+8 = 25처럼 묶어 가면 암산으로도 편합니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List6STEP 6
헷갈리기 쉬운 수만 다시 짚어 보기
헷갈리는 91과 49도 소수가 아닙니다.
9 + 7 = 16 → 3의 배수 아님
표 전체를 다시 만드는 것보다 위험한 몇 개만 손으로 확인하는 편이 훨씬 빠릅니다. 이 문제에서 나오는 실수는 거의 다 이 여덟 개에서 나옵니다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem정답
25 개
4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 + 1 = 25
100개 중 25개라면 대략 네 개에 하나꼴로 소수인 셈인데, 표의 모양과 잘 맞습니다. 첫 줄에는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19로 처음 스무 개 중 여덟 개나 소수가 몰려 있고, 뒤로 갈수록 점점 뜸해져서 마지막 열 개에는 97 하나만 남습니다. 이렇게 성기어지는 것도 자연스럽습니다. 수가 커질수록 걸릴 수 있는 약수가 많아지기 때문입니다. 답은 개수이므로 단위 없는 자연수여야 하고, 100보다는 작으면서 그림에 이미 동그라미가 쳐진 11개보다는 많아야 하는데, 25는 그 사이에 잘 들어앉습니다.
핵심 정리
소수를 찾아다니지 말고 2, 3, 5, 7의 배수를 지우세요. 그러고도 남아 있는 25개가 바로 100까지의 소수입니다.
- 그림이 이미 해 놓은 일 읽어 내기
- 체를 어디까지만 돌리면 되는지 따지기
- 36부터 100까지 마저 지우기
- 열 개씩 끊어서 살아남은 수 적기
- 열 덩이의 개수 더하기
- 헷갈리기 쉬운 수만 다시 짚어 보기
이어서 풀어볼까요