문제
배수 판정법 (1)
판정할 수로 372와 6525가 주어집니다. 칸에는 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9가 적혀 있습니다. 주어진 수가 그 칸의 수의 배수이면 색칠합니다. 수마다 색칠할 칸을 모두 고릅니다.
사고력 · 초5-1 배수 판정법
내 답
조심 4의 배수면 8의 배수일 것 같지만 끝 세 자리를 따로 살펴야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 예/아니오로 답할 것이 정확히 열네 가지이니, 수마다 일곱 개의 후보를 순서대로 짚으며 하나도 건너뛰지 않는 것이 안전합니다. 그것이 빠짐없이 나열하기입니다. 나눗셈을 하지 않고 답하기 위해 일곱 개의 후보를 생각이 같은 세 무리로 갈라 둡니다. 2, 4, 5, 8은 끝의 한 자리, 두 자리, 세 자리로 판정합니다. 10과 100, 1000이 이미 이 수들의 배수이기 때문입니다. 3과 9는 각 자리 숫자의 합으로 판정합니다. 6만은 여러 판정을 겹쳐야 하는 수라서 2 판정과 3 판정을 함께 통과해야 합니다. 세 무리 모두 쉬운 자릿값 사실 하나를 되풀이해 쓰는 것이고, 마지막에 실제로 나눗셈을 해 열네 가지를 모두 확인합니다.
1STEP 1
2, 4, 5, 8은 왜 끝자리만 보면 되는가
2, 4, 5, 8은 끝자리만 보면 됩니다.
10 = 2 × 5, 100 = 4 × 25, 1000 = 8 × 125
그저 자릿값 이야기입니다. 여러 자리 수는 천의 자리와 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 더한 것이고, 백의 자리 위쪽이 이미 4의 배수라면 그 부분은 제쳐 두고 남은 것만 보면 됩니다.
4.NBT.A.2Solve An Easier Related Problem2STEP 2
3과 9는 왜 각 자리 숫자를 더하면 되는가
3과 9는 숫자의 합으로 판정합니다.
372 = (3 × 99 + 7 × 9) + (3 + 7 + 2)
모든 자릿값은 9가 늘어선 수보다 딱 1 큽니다. 그러니 '9가 늘어선 부분'은 3이나 9로 나눈 나머지를 절대 바꾸지 못하고, 결국 각 자리 숫자가 전부를 말해 줍니다.
4.NBT.A.2Look For A Pattern3과 9에서 자릿수의 합이 통하는 까닭은 모든 자리값이 9의 배수보다 1 크기 때문이다.
왜?
10과 100과 1000은 9로 나누면 저마다 나머지가 1이므로, 어느 자리의 숫자든 자기 자신만을 남긴다.
🧱배수 판정은 자리값에서 나온다10, 100, 1000이 나누는 수와 정해진 관계에 있어 특정 자리만 문제가 된다 — 끝 두 자리가 4를, 자릿수의 합이 3과 9를 정한다.
왜?
수는 자리 값을 더한 것이므로, 부분들의 나머지를 더하면 전체의 나머지가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
372에 일곱 가지 판정 적용하기
372는 2, 3, 4, 6의 배수입니다.
3 + 7 + 2 = 12, 72 = 4 × 18, 372 = 8 × 46 + 4
한 자리 수의 배수를 알아보는 것은 4학년 실력이면 충분합니다. 판정법은 큰 수에 대한 물음을 이미 구구단으로 아는 작은 수에 대한 물음으로 줄여 줍니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
6525에 일곱 가지 판정 적용하기
6525는 3, 5, 9의 배수입니다.
6 + 5 + 2 + 5 = 18 = 9 × 2, 25 = 4 × 6 + 1
2 판정에서 한 번 걸리면 그 줄에 있는 짝수 후보(4, 6, 8)가 한꺼번에 정리됩니다. 홀수는 절대로 짝수의 배수가 될 수 없기 때문입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List5STEP 5
열네 가지를 실제로 나눗셈해 확인하기
직접 나누어 보아도 모두 맞습니다.
372 = 6 × 62, 6525 = 9 × 725
세 자리나 네 자리 수를 한 자리 수로 나누고 나머지를 읽는 것은 딱 4학년 나눗셈 실력이라, 열네 가지 판단을 스스로 확인해 볼 수 있습니다.
4.NBT.B.6Guess And Check6STEP 6
칸 색칠하기
칸은 네 칸과 세 칸을 색칠합니다.
예/아니오 목록을 그림에 옮겨 적는 것이 마지막 순서입니다. 생각은 이미 다 끝났습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List정답
2, 3, 4, 6 / 3, 5, 9
3 + 7 + 2 = 12, 6 + 5 + 2 + 5 = 18
두 줄의 답이 서로 앞뒤가 맞습니다. (1)에서 372는 2에도 3에도 색칠되었으니 6에도 반드시 색칠되어야 하는데 실제로 그렇습니다. 4에는 색칠되었지만 8에는 아닌데, 372 = 4 × 93이고 93이 홀수라 2가 한 번 더 들어 있지 않으니 이치에 맞습니다. 3에는 색칠되었지만 9에는 아닌 것도 각 자리 숫자의 합 12가 3의 배수이면서 9의 배수는 아닌 것과 맞아떨어집니다. (2)에서 6525는 홀수이므로 짝수 칸(2, 4, 6, 8)이 모두 비어 있어야 하는데 네 칸 다 비어 있습니다. 9에 색칠되었는데, 9의 배수는 반드시 3의 배수이기도 하고 실제로 3에도 색칠되어 있습니다. 직접 나눗셈을 해도 열네 칸이 모두 확인됩니다. 372 = 2 × 186 = 3 × 124 = 4 × 93 = 6 × 62이고 6525 = 3 × 2175 = 5 × 1305 = 9 × 725입니다.
핵심 정리
판정법을 무리 지어 외우세요. 끝자리가 2, 4, 5, 8을 정하고, 각 자리 숫자의 합이 3과 9를 정하며, 6은 그저 '2도 통과하고 3도 통과'라는 뜻이랍니다.
- 2, 4, 5, 8은 왜 끝자리만 보면 되는가
- 3과 9는 왜 각 자리 숫자를 더하면 되는가
- 372에 일곱 가지 판정 적용하기
- 6525에 일곱 가지 판정 적용하기
- 열네 가지를 실제로 나눗셈해 확인하기
- 칸 색칠하기
이어서 풀어볼까요