문제
최대공약수와 최소공배수의 관계
두 자연수에는 곱, 최대공약수, 최소공배수 세 값이 딸려 있습니다. 세 경우에 곱 216과 최소공배수 72, 곱 63과 최대공약수 3, 최대공약수 60과 최소공배수 240이 주어집니다. 나머지 하나를 구해야 합니다. 세 물음의 답을 각각 구합니다.
사고력 · 초5-1 최대공약수와 최소공배수
내 답
조심 두 수를 먼저 찾아야 할 것 같지만 세 값의 관계만으로 풀립니다.
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 세 문제를 따로따로 붙들기 전에, 처음부터 끝까지 훤히 보이는 쉬운 한 쌍을 먼저 다뤄 봅니다. 12와 18을 놓고 두 수의 곱과 최대공약수와 최소공배수가 어떻게 되는지 지켜보면 (두 수의 곱) = (최대공약수) × (최소공배수)라는 관계가 드러나고, 두 수를 최대공약수 곱하기 나머지 부분으로 적어 보면 왜 그런지까지 보입니다. 관계만 손에 넣으면 세 문제는 모두 거꾸로 풀기 한 걸음입니다. 빠진 값이 무엇이든 나눗셈 한 번 아니면 곱셈 한 번이면 나옵니다. 마지막에는 실제로 그런 두 수가 있는지 빠짐없이 나열해 확인합니다.
1STEP 1
훤히 보이는 한 쌍에서 관계 찾아내기
두 수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같습니다.
A = a × G, B = b × G → L = a × b × G, A × B = a × b × G × G = G × L
최대공약수는 두 수가 함께 가진 부분이고 최소공배수는 둘 중 어느 쪽이든 가진 것을 모두 모은 것입니다. 이 둘을 곱하면 함께 가진 부분도 한 번, 따로 가진 부분도 한 번씩 세게 되는데, 그것이 바로 두 수를 곱할 때 일어나는 일입니다.
6.NS.B.4Solve An Easier Related Problem어떤 두 수든 최대공약수에 최소공배수를 곱하면 두 수의 곱과 같다.
왜?
각 소수는 두 수에서 저마다 정해진 횟수로 나타나며, 작은 쪽 횟수와 큰 쪽 횟수를 더하면 두 횟수의 합이 된다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
왜?
약수를 모두 적을 수 있는 짝으로 확인해 보면 거짓일 경우 곧바로 드러날 텐데, 그 주장은 살아남는다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
2STEP 2
(1) 곱과 최소공배수를 알 때는 나누기
(1)은 곱을 최소공배수로 나누어 3입니다.
216 = G × 72 → G = 216 ÷ 72 = 3
곱과 한쪽 수를 알 때 다른 쪽을 찾는 나눗셈입니다. 216 = □ × 72에서 □를 채우는 것과 똑같습니다.
5.NBT.B.6Work Backwards3STEP 3
(2) 곱과 최대공약수를 알 때는 반대쪽으로 나누기
(2)는 곱을 최대공약수로 나누어 21입니다.
63 = 3 × L → L = 63 ÷ 3 = 21
같은 관계 하나로 양쪽 방향을 다 해결합니다. 무엇으로 나눌지는 어느 쪽을 받았느냐에 따라 정해질 뿐입니다.
5.NBT.B.6Work Backwards4STEP 4
(3) 최대공약수와 최소공배수를 알 때는 곱하기
(3)은 둘을 곱해 14400입니다.
A × B = 60 × 240 = 14400
60 × 240은 6 × 24를 계산한 뒤 0을 두 개 붙이는 것과 같습니다. 144가 14400이 됩니다.
5.NBT.B.5Work Backwards5STEP 5
세 답에 실제로 맞는 두 수가 있는지 확인하기
실제 두 수를 찾아보면 세 답이 모두 맞습니다.
(3, 72): 3 × 72=216, L=72, G=3 (3, 21): 3 × 21=63, G=3, L=21 (60, 240): G=60, L=240, A × B=14400
곱이 되는 두 수의 짝을 모두 적어 하나씩 확인하는 일은 느리지만 확실합니다. 머릿속에만 있던 관계를 손으로 짚을 수 있는 것으로 바꿔 줍니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List정답
3, 21, 14400
216 ÷ 72 = 3, 63 ÷ 3 = 21, 60 × 240 = 14400
세 답 모두 크기로 따져 보아도 무리가 없습니다. (1)에서 최대공약수는 최소공배수를 나누어야 하는데 3은 72를 나눕니다. 두 수보다 클 수도 없는데 3은 충분히 작습니다. (2)에서 최소공배수는 최대공약수의 배수여야 하고 두 수의 곱을 넘을 수 없는데, 21은 3의 배수이면서 63보다 한참 작습니다. (3)에서 두 수의 곱은 최소공배수보다 작을 수 없는데 14400은 240보다 훨씬 큽니다. 이것이 맞는 까닭은 최대공약수 60이 크다는 것, 곧 두 수가 겹치는 부분이 많다는 뜻이기 때문입니다. 세 답 모두 실제 수로도 확인했습니다. (1)은 (3, 72)나 (9, 24), (2)는 (3, 21), (3)은 (60, 240)입니다.
핵심 정리
최대공약수는 두 수가 함께 가진 것을, 최소공배수는 둘이 가진 것을 모두 모아 센 값입니다. 그래서 이 둘을 곱하면 언제나 두 수의 곱으로 되돌아옵니다.
- 훤히 보이는 한 쌍에서 관계 찾아내기
- (1) 곱과 최소공배수를 알 때는 나누기
- (2) 곱과 최대공약수를 알 때는 반대쪽으로 나누기
- (3) 최대공약수와 최소공배수를 알 때는 곱하기
- 세 답에 실제로 맞는 두 수가 있는지 확인하기
이어서 풀어볼까요