문제
홀수와 짝수의 계산
네 계산은 2+4+6+…+100, 1+3+5+…+99, 1+2+3+…+99, 1×1+2×2+3×3+…+99×99입니다. 결과가 얼마인지는 묻지 않습니다. 홀수인지 짝수인지만 답하면 됩니다. 네 계산의 홀짝을 각각 구합니다.
사고력 · 초5-2 패리티
내 답
조심 홀수가 많으면 합도 홀수 같지만 홀수가 짝수 개면 합은 짝수입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 수백 개를 더하는 일은 애초에 불가능하지만, 덧셈에서 홀수와 짝수는 아주 짧게 되풀이되는 규칙을 따릅니다. 그러니 작은 합에서 그 규칙을 먼저 알아낸 다음 긴 계산에 그대로 쓰면 됩니다. 여기서 핵심이 되는 발견은 짝수를 아무리 더해도 홀짝이 바뀌지 않는다는 것입니다. 그러면 세어야 할 것은 홀수가 몇 개인지 하나뿐입니다. 그래서 각 계산을 홀수 무더기와 짝수 무더기로 다시 갈라 놓고 홀수 쪽만 세는 것이 가장 쓸모 있는 정리 방법이 됩니다.
1STEP 1
짧은 합에서 규칙 찾기
짧은 합으로 홀짝만 따라가는 법을 익힙니다.
1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, 1+3+5+7+9=25
홀수 둘은 언제나 짝을 이루어 짝수가 됩니다. 그래서 홀수는 둘씩 사라지고, 짝이 안 맞아 하나 남은 홀수만이 합을 홀수로 만듭니다.
2.OA.C.3Solve An Easier Related Problem2STEP 2
짝수는 홀짝을 바꾸지 못한다
짝수는 홀짝을 바꾸지 못합니다.
짝수 + 짝수 = 짝수, 홀수 + 짝수 = 홀수
짝수는 둘씩 짝이 다 맞는 수라서, 아무리 집어넣어도 짝이 안 맞는 것을 남기지 못합니다. 홀수를 짝수로 바꾸지도, 그 반대로 바꾸지도 못합니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern짝수 항은 전혀 문제가 되지 않으므로, 긴 합의 홀짝은 그 안에 든 홀수 항의 개수가 정한다.
왜?
짝수를 더하면 홀짝이 그대로이고 홀수를 더하면 뒤바뀌므로, 무언가를 뒤집는 것은 홀수 항뿐이다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
왜?
총합은 항을 차례로 더한 것이므로, 마지막 홀짝은 그 뒤바뀜을 차례로 겪은 결과다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
(1) 더하는 수가 모두 짝수
(1)은 모두 짝수라 짝수입니다.
2+4+6+…+100 = 2 × (1+2+3+…+50)
더하는 수마다 똑같은 두 몫으로 갈라지니 전체 더미도 똑같은 두 몫으로 갈라집니다. 짝수라는 말이 바로 그런 뜻입니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern4STEP 4
(2) 홀수의 개수 세기
(2)는 홀수가 50개라 짝수입니다.
100 ÷ 2 = 50개의 홀수, 50 ÷ 2 = 25묶음
홀수들을 둘씩 세워 남는 것이 없다면 묶음마다 짝수가 되므로 전체 합도 짝수입니다.
4.OA.C.5Organize Information In More Ways5STEP 5
(3) 홀수 무더기와 짝수 무더기로 갈라 놓기
(3)도 홀수 무더기가 짝수라 짝수입니다.
(2+4+…+98)_짝수 + (1+3+…+99)_짝수 = 짝수
덧셈은 어떤 순서로 해도 되니 짝수와 홀수로 다시 갈라 놓는 데 드는 손해가 없고, 정작 중요한 부분만 세기 쉬워집니다.
2.OA.C.3Organize Information In More Ways6STEP 6
(4) 같은 수끼리의 곱은 그 수가 홀수일 때만 홀수
(4)도 홀수인 항이 짝수 개라 짝수입니다.
홀수 × 홀수 = 홀수, 50개의 홀수 → 짝수인 합
같은 수를 곱한다고 해서 홀수가 짝수로 바뀌지는 않습니다. 그러니 홀수인 곱을 세는 일은 홀수를 세는 일과 똑같이 쉬운 일입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern정답
짝수, 짝수, 짝수, 짝수
50 ÷ 2 = 25
네 답 모두 홀수 아니면 짝수라는 두 낱말 중 하나이고, 어느 것도 합계를 구할 필요가 없었습니다. 같은 계산을 짧게 줄이면 합이 직접 구해질 만큼 작아지므로 논리를 그 자리에서 점검할 수 있습니다. (1)처럼 2 + 4 + 6 = 12는 짝수입니다. (2)의 논리대로라면 1 + 3 + 5 + 7은 홀수가 4개이므로 짝수여야 하는데 실제로 16입니다. (3)에 맞추어 1 + 2 + 3 + 4 = 10은 짝수이고 그 안의 홀수 1과 3은 2개입니다. (4)에 맞추어 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 30은 짝수이고 홀수인 곱은 2개입니다. 줄여 본 경우가 모두 규칙이 말한 대로 나옵니다.
핵심 정리
짝수는 홀짝을 절대 바꾸지 못하니 홀수만 세면 돼요. 홀수가 짝수 개면 답은 언제나 짝수랍니다.
- 짧은 합에서 규칙 찾기
- 짝수는 홀짝을 바꾸지 못한다
- (1) 더하는 수가 모두 짝수
- (2) 홀수의 개수 세기
- (3) 홀수 무더기와 짝수 무더기로 갈라 놓기
- (4) 같은 수끼리의 곱은 그 수가 홀수일 때만 홀수
이어서 풀어볼까요