문제
홀수와 짝수를 이용하여 목표수 만들기
볼링핀 여섯 개에 5, 5, 5, 3, 3, 1이 적혀 있습니다. 그중 정확히 네 개를 쓰러뜨립니다. 점수는 쓰러뜨린 네 수의 합입니다. 나올 수 없는 점수를 고릅니다.
사고력 · 초5-1 목표수 만들기
내 답
조심 홀수만 더하니 홀수가 나올 것 같지만 홀수 네 개의 합은 반드시 짝수입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 쓰러뜨릴 네 개를 고르는 대신 서 있을 두 개를 고르면 따져 볼 경우가 훨씬 줄어듭니다. 그런데 세기 전에 이미 불가능한 점수를 통째로 걸러 내는 검사가 두 가지 있습니다. 첫째, 여기 적힌 수는 모두 홀수이고 홀수 네 개를 더하면 언제나 짝수가 됩니다. 이 성질 하나로 홀수인 점수는 바로 지워집니다. 둘째, 네 개를 쓰러뜨렸을 때 나올 수 있는 가장 작은 점수와 가장 큰 점수가 답의 범위를 좁게 울타리 쳐 주므로, 그 밖에 있는 점수도 지워집니다. 이 두 검사를 통과한 점수는 실제로 핀을 골라 만들어 보이고, 마지막에는 네 개로 만들 수 있는 점수를 빠짐없이 나열해 확인을 마무리합니다.
1STEP 1
그림에서 핀에 적힌 수 읽기
핀에 적힌 수는 5, 5, 5, 3, 3, 1입니다.
{5, 5, 5, 3, 3, 1}
무엇을 하기 전에 여섯 수를 먼저 정리해 놓으면 모두 홀수라는 공통점이 눈에 확 들어옵니다. 이 문제는 그 한 가지 성질이 거의 다 해결해 줍니다.
2.OA.C.3Make A Systematic List2STEP 2
점수의 울타리 치기: 가장 작은 값과 가장 큰 값
점수는 12 이상 18 이하입니다.
1+3+3+5 = 12 ≤ score ≤ 5+5+5+3 = 18
적어도 1점짜리 이상인 핀을 네 개나 쓰러뜨렸으니 점수가 아주 작을 수는 없습니다. 양 끝의 두 경우만 확인해도 범위 전체가 정해집니다.
2.NBT.B.6Guess And Check3STEP 3
홀수와 짝수로 17점 지우기
홀수 넷을 더하므로 점수는 늘 짝수입니다.
(odd+odd) + (odd+odd) = even + even = even
홀수는 둘씩 짝을 짓고 하나가 남는 수입니다. 그런 수가 네 개면 남은 하나끼리 다시 두 짝을 이루어 남는 것이 없습니다. 홀수 네 개의 합이 늘 짝수인 까닭이 여기에 있습니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern17점은 불가능한데, 이 값을 가진 핀 네 개는 언제나 짝수 합만 이루기 때문이다.
왜?
홀짝이 정해진 수들을 더하면 총합의 홀짝도 정해지므로, 핀을 고르기 전에 이미 총합의 홀짝이 결정된다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
왜?
홀짝이 맞지 않는 목표는 배치를 시도해 볼 필요도 없이 그 자리에서 무너진다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
4STEP 4
남은 세 점수를 실제로 만들어 보기
그래서 12, 14, 16, 18은 만들 수 있습니다.
5+3+3+1 = 12, 5+5+3+1 = 14, 5+5+5+3 = 18
어떤 점수가 가능하다는 것을 보이려면 되는 예 하나면 충분하니, 목표마다 잘 고른 한 가지만 대 보면 끝납니다. 다만 5가 적힌 핀은 셋, 3이 적힌 핀은 둘뿐이니 실제로 있는 핀인지 꼭 맞춰 봐야 합니다.
2.NBT.B.6Guess And Check5STEP 5
네 개로 만들 수 있는 점수를 빠짐없이 나열하기
나올 수 없는 점수는 10과 17입니다.
22 - 10 = 12, 22 - 8 = 14, 22 - 6 = 16, 22 - 4 = 18
'여섯 개 중 네 개 고르기'를 '여섯 개 중 두 개 고르기'로 바꾸면 경우가 손에 꼽을 만큼 줄어듭니다. 머리를 쓴 설명이 빠짐없는 확인으로 바뀌는 순간입니다.
3.OA.D.9Make A Systematic List정답
10, 17 점
12 ≤ 점수 ≤ 18
점수는 자연수이고, 얻을 수 있는 점수를 모두 모은 12, 14, 16, 18은 짝수이면서 네 개를 쓰러뜨렸을 때 나올 수 있는 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 놓여 있습니다. 앞의 두 가지 설명이 예고한 그대로입니다. 지워진 두 점수는 서로 다른 이유로 지워졌습니다. 10점은 가장 작은 핀 네 개를 쓰러뜨려도 닿지 못할 만큼 작고, 17점은 크기는 알맞지만 홀수라서 안 됩니다. 반대로 통과한 12점, 14점, 18점은 각각 실제 핀 네 개를 골라 보여 주었으므로 짐작만으로 받아들인 것이 하나도 없습니다.
핵심 정리
조합을 찾아 헤매기 전에 점수가 얼마까지 커질 수 있는지, 그리고 홀수인지 짝수인지부터 물어보세요. 홀수 핀 네 개의 합은 반드시 짝수라서 17점은 애초에 나올 수 없었답니다.
- 그림에서 핀에 적힌 수 읽기
- 점수의 울타리 치기: 가장 작은 값과 가장 큰 값
- 홀수와 짝수로 17점 지우기
- 남은 세 점수를 실제로 만들어 보기
- 네 개로 만들 수 있는 점수를 빠짐없이 나열하기
이어서 풀어볼까요