문제
분수의 크기 비교하기
토너먼트 대진표 맨 아랫줄에 분수 카드 여덟 장이 놓여 있습니다. 이웃한 두 장이 맞붙어 더 큰 쪽이 위로 올라갑니다. 여덟이 넷, 넷이 둘, 둘이 하나가 됩니다. 빈칸 일곱 곳을 모두 채웁니다.
사고력 · 초5-1 분수의 계산
내 답
조심 분모가 큰 쪽이 작아 보이지만 분자도 함께 커지면 오히려 큽니다.
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 짝마다 '이렇게 고쳐 쓰면 한눈에 보인다' 하는 방법이 하나씩 숨어 있도록 대진이 짜여 있습니다. 그러니 여덟 분수를 한꺼번에 통분하지 말고, 짝을 하나씩 들여다보며 무엇을 맞추라고 하는지 물어봅니다. 한쪽이 딱 1/2인가, 분자가 같은가, 분자를 같게 만들 수 있는가, 분모에서 분자를 뺀 차가 같은가. 짝마다 맞는 안경을 골라 쓰면 어려워 보이던 비교 일곱 번이 각각 한 줄로 끝나고, 대진표 자체가 누가 이겼는지 적어 두는 그림 역할을 합니다.
1STEP 1
1회전 첫째 짝: 5/12와 8/16 — 1/2을 기준으로
5/12는 1/2보다 작아 8/16이 올라갑니다.
8/16=1/2, 5 × 2 = 10 ＜ 12 → 5/12 ＜ 1/2
1/2은 가장 다루기 쉬운 기준점입니다. 분자를 두 배 해서 분모와 견주기만 하면, 통분 한 번 없이 그 분수가 1/2의 어느 쪽에 있는지 곧바로 알 수 있습니다.
4.NF.A.2Solve An Easier Related Problem2STEP 2
1회전 둘째 짝: 8/11과 20/23 — 분모와 분자의 차가 같다
1에서 모자란 만큼을 견주면 20/23이 큽니다.
8/11=1-3/11, 20/23=1-3/23, 3/23 ＜ 3/11
1이 되기까지 모자란 조각 수가 서로 같다면, 조각이 작은 쪽이 1에 더 바짝 붙어 있습니다. 분모가 커지면 조각이 작아진다는 것은 3학년 분수 감각 그대로입니다.
4.NF.B.3Look For A Pattern3STEP 3
1회전 셋째 짝: 26/34와 52/64 — 분자를 맞춘다
분자를 맞추면 52/64가 큽니다.
26/34=(26×2)/(34×2)=52/68 ＜ 52/64
분모를 맞추는 것보다 분자를 맞추는 편이 훨씬 싸게 먹힐 때가 많습니다. 여기서는 두 배 한 번이면 끝나고, 분자가 같아지고 나면 분모가 작은 쪽이 언제나 이깁니다.
4.NF.A.1Organize Information In More Ways두 분자를 같게 맞추면 분모만 보고 두 분수를 견줄 수 있다.
왜?
분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하면 크기는 그대로 두고 이름만 바뀌므로, 분자를 억지로 맞출 수 있다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
왜?
가져간 조각의 수가 같다면, 더 적게 잘린 쪽이 조각이 커서 더 큰 분수다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
4STEP 4
1회전 넷째 짝: 13/21과 13/19 — 분자가 이미 같다
분자가 같으면 분모가 작은 13/19가 큽니다.
13/21 ＜ 13/19
똑같은 초콜릿 두 판을 떠올려 보세요. 하나는 21조각으로, 다른 하나는 19조각으로 쪼갰다면 19조각짜리에서 13조각을 떼어 낸 쪽이 눈에 띄게 많습니다.
3.NF.A.3Draw A Diagram5STEP 5
2회전 왼쪽: 8/16과 20/23 — 다시 1/2을 기준으로
2회전 왼쪽은 20/23이 올라갑니다.
8/16=1/2 ＜ 20/23 (20 × 2 = 40 ＞ 23)
첫 짝을 정리했던 1/2 기준이 이 짝도 그대로 정리해 줍니다. 한 번 쓰고 마는 요령보다, 다시 꺼내 쓸 수 있는 기준 하나가 훨씬 값집니다.
4.NF.A.2Solve An Easier Related Problem6STEP 6
2회전 오른쪽: 52/64와 13/19 — 다시 분자를 맞춘다
2회전 오른쪽은 52/64가 올라갑니다.
13/19=(13×4)/(19×4)=52/76 ＜ 52/64
52 = 13 x 4이므로 상대 분수의 분자가 이미 13의 배수입니다. 이것만 알아채면 64와 19의 공통분모를 찾을 일이 아예 없어집니다.
4.NF.A.1Organize Information In More Ways7STEP 7
결승: 20/23과 52/64 — 차가 같은 꼴이 한 번 더
결승에서 20/23이 이깁니다.
52/64=13/16=1-3/16, 20/23=1-3/23, 3/23 ＜ 3/16
먼저 약분해 보았기 때문에 숨어 있던 차 3이 드러났습니다. 1회전에서 썼던 '1에서 얼마나 모자란가' 비교가 그대로 대진표를 마무리합니다.
4.NF.B.3Look For A Pattern정답
20/23
8/16, 20/23, 52/64, 13/19
여덟 분수를 소수로 어림하면 약 0.417, 0.500, 0.727, 0.870, 0.765, 0.813, 0.619, 0.684입니다. 그러면 1회전 승자는 0.500, 0.870, 0.813, 0.684, 2회전 승자는 0.870과 0.813, 우승은 0.870 곧 20/23이 되어 위에서 구한 것과 모두 맞습니다. 토너먼트인 만큼 우승자는 여덟 개 중 가장 큰 분수여야 하는데 실제로 그렇습니다. 또 빈칸마다 바로 아래에 있던 분수를 모양 그대로 옮겨 적었고, 적힌 분수는 모두 0과 1 사이여서 카드에 적힌 크기와도 어긋나지 않습니다.
핵심 정리
계산하기 전에 짝을 먼저 들여다보세요. 하나는 딱 절반이고, 하나는 분자가 같고, 하나는 1에서 모자란 만큼이 같습니다. 그러면 비교가 모두 한 줄로 끝나요.
- 1회전 첫째 짝: 5/12와 8/16 — 1/2을 기준으로
- 1회전 둘째 짝: 8/11과 20/23 — 분모와 분자의 차가 같다
- 1회전 셋째 짝: 26/34와 52/64 — 분자를 맞춘다
- 1회전 넷째 짝: 13/21과 13/19 — 분자가 이미 같다
- 2회전 왼쪽: 8/16과 20/23 — 다시 1/2을 기준으로
- 2회전 오른쪽: 52/64와 13/19 — 다시 분자를 맞춘다
- 결승: 20/23과 52/64 — 차가 같은 꼴이 한 번 더
이어서 풀어볼까요