문제
자연수의 계산식 만들기
1부터 9까지의 숫자가 차례로 놓이고 사이를 더하기가 잇고 있습니다. 세 줄 각각에서 더하기를 딱 하나만 지웁니다. 지우면 양옆의 두 숫자가 붙어 두 자리 수가 됩니다. 세 줄이 각각 90, 72, 117이 되게 지웁니다.
사고력 · 초5-1 목표수 만들기
내 답
조심 붙인 두 자리 수를 다시 다 더할 것 같지만 늘어나는 값은 앞 숫자의 9배입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — +가 여덟 개뿐이니 따져 볼 경우를 모두 적어 볼 수 있을 만큼 적습니다. 그렇다고 여덟 개의 식을 새로 쓰고 매번 처음부터 더하는 것은 품이 많이 듭니다. 그래서 먼저 더 쉬운 질문부터 답합니다. 아무것도 지우지 않았을 때 이 식의 값은 얼마인가? 그다음에 + 하나를 지우면 그 값이 얼마나 달라지는지를 봅니다. 값이 뛰는 폭에 아주 깔끔한 규칙이 있어서, 여덟 가지 결과를 한 번에 쭉 적어 놓고 세 줄의 답을 그대로 읽어 낼 수 있습니다. 마지막에는 완성된 식을 다시 더해 확인합니다.
1STEP 1
아무것도 지우지 않았을 때의 값 구하기
지우기 전의 값은 45입니다.
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 40 + 5 = 45
세 줄의 목표 값을 모두 이 수 하나와 견주게 되니, 한 번 제대로 구해 두면 세 번 덕을 봅니다. 짝을 지어 10을 만드는 방법은 작은 수를 여러 개 더할 때 이미 쓰던 요령입니다.
4.NBT.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
+ 하나를 지우면 값이 얼마나 커지는지 보기
더하기 하나를 지우면 앞 숫자의 9배만큼 커집니다.
56 - (5+6) = 56 - 11 = 45 = 9 × 5
4학년 자릿값에서 배우듯이 한 자리 왼쪽으로 가면 값이 10배가 됩니다. 10배에서 원래 값을 빼면 9배이니, 뛰는 폭은 언제나 왼쪽으로 올라간 숫자의 9배입니다.
4.NBT.A.1Look For A Pattern더하기 기호를 하나 지우면 두 수가 붙고, 한 숫자를 다른 수 앞에 붙이면 합이 정해진 만큼 올라간다.
왜?
숫자를 왼쪽으로 한 자리 옮기면 값이 열 배가 되므로, 붙이면 그 숫자가 아홉 개 더 더해진다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
총합은 항들을 더한 것이므로, 한 항이 달라지면 총합은 정확히 그 항이 달라진 만큼 달라진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
규칙으로 바꿔 여덟 가지를 모두 적기
그래서 나올 수 있는 값은 54부터 117까지 여덟 가지입니다.
new total = 45 + 9 × a: 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117
9에 1부터 8까지를 곱하는 것은 구구단입니다. 긴 덧셈 여덟 번 대신 쉬운 곱셈 여덟 번으로 나올 수 있는 값을 전부 손에 넣습니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List4STEP 4
목록에서 세 줄의 답을 읽어 내기
목록에서 90, 72, 117은 5, 3, 8을 붙일 때입니다.
90 = 45 + 9 × 5, 72 = 45 + 9 × 3, 117 = 45 + 9 × 8
나올 수 있는 여덟 가지 값이 서로 겹치지 않으니, 목표 값을 목록에서 찾기만 하면 됩니다. 빠뜨릴 경우도 없고 답이 두 개인 경우도 없습니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List5STEP 5
완성한 세 줄을 직접 더해 확인하기
직접 더해 보면 세 줄이 모두 맞습니다.
1+2+3+4+56+7+8+9 = 90; 1+2+34+5+6+7+8+9 = 72; 1+2+3+4+5+6+7+89 = 117
규칙 덕분에 시간을 아꼈지만, 그 줄이 정말 참인지 보여 주는 것은 결국 직접 더해 보는 일뿐입니다. 짧은 덧셈 세 번이면 세 답을 모두 확인할 수 있습니다.
4.NBT.B.4Guess And Check정답
5와 6 사이, 3과 4 사이, 8과 9 사이
45 + 9 × 5 = 90
두 숫자를 붙이면 값은 커지기만 하므로 답은 반드시 45보다 커야 하고, 맨 마지막 +를 지웠을 때 나오는 117보다 클 수는 없습니다. 세 목표 값 90, 72, 117이 모두 그 사이에 들어 있으니 문제가 성립합니다. 목표 값에서 45를 빼면 45, 27, 72가 되는데, 셋 다 9의 배수(9 × 5, 9 × 3, 9 × 8)입니다. 자릿값 규칙이 요구하는 그대로입니다. 만약 목표 값이 80이었다면 이 검사를 통과하지 못하고 답이 아예 없었을 것입니다. 마지막으로 나올 수 있는 여덟 가지 값이 서로 다르니 줄마다 답은 정확히 하나이고 빠뜨린 경우도 없습니다.
핵심 정리
두 숫자를 붙이는 것은 왼쪽 숫자를 십의 자리로 올려 주는 일이라서, 값은 늘 그 숫자의 9배만큼 뜁니다. 찾아 헤매던 문제가 나눗셈 한 번으로 끝나지요!
- 아무것도 지우지 않았을 때의 값 구하기
- + 하나를 지우면 값이 얼마나 커지는지 보기
- 규칙으로 바꿔 여덟 가지를 모두 적기
- 목록에서 세 줄의 답을 읽어 내기
- 완성한 세 줄을 직접 더해 확인하기