문제
수 넣기
수 카드 1, 2, 3, 4, 5가 한 장씩 있습니다. 다섯 장을 다섯 네모에 한 장씩 남김없이 넣습니다. 식이 성립해야 합니다. 서로 다른 방법을 세 가지 찾습니다.
사고력 · 초5-1 수 퍼즐
내 답
조심 카드 자리를 바꾸면 새 방법 같지만 곱셈 안에서 바꾼 것은 같은 방법입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 카드가 다섯 장뿐이라 찾아야 할 경우의 수가 유한하니, 차근차근 적어 나가면 놓치는 일이 없습니다. 목록을 확 줄여 주는 열쇠는 양쪽이 얼마까지 커질 수 있는지 따져 보는 것입니다. 오른쪽은 아무리 커야 9이므로 왼쪽 곱도 9 이하여야 하는데, 1부터 5까지 서로 다른 두 카드의 곱 중 9 이하인 것은 몇 개 되지 않습니다. 그 곱들을 작은 것부터 늘어놓고, 곱마다 남은 카드 세 장으로 (합) ÷ (카드)를 만들어 그 값에 닿을 수 있는지 확인하면 됩니다.
1STEP 1
오른쪽이 얼마까지 커질 수 있는지 알아보기
오른쪽은 아무리 커도 9를 넘지 못합니다.
(4+5)/1=9 → 오른쪽 ≤ 9
괄호를 먼저 읽는 것이 여기서 전부입니다. 합을 먼저 구한 뒤 나누니, 가장 큰 합을 가장 작은 수로 나눈 값이 천장이 됩니다. 천장을 알면 끝없어 보이던 퍼즐이 짧은 목록으로 바뀝니다.
5.OA.A.1Eliminate Possibilities오른쪽 변이 얼마나 커질 수 있는지를 가두면, 확인할 값어치가 있는 곱이 몇 개로 줄어든다.
왜?
큰 카드는 큰 곱을 주므로, 어떤 곱이 한계를 넘어서면 그보다 큰 짝도 모두 넘어선다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
한계 밖의 모든 짝은 계산 없이 버려지므로, 손으로 확인할 것은 짧은 목록뿐이다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
2STEP 2
9 이하인 두 카드의 곱 모두 적기
9 이하인 곱은 2, 3, 4, 5, 6, 8입니다.
1 × 2=2, 1 × 3=3, 1 × 4=4, 1 × 5=5, 2 × 3=6, 2 × 4=8
곱을 작은 것부터 늘어놓는 일은 이미 외우고 있는 곱셈구구를 쓰는 것뿐입니다. 순서대로 적으면 어디서 멈춰야 할지도 저절로 보입니다. 9를 넘긴 곱은 다시 내려오지 않으니까요.
3.OA.C.7Make A Systematic List3STEP 3
남은 카드 세 장으로 경우마다 확인하기
남은 세 장으로 확인하면 세 가지만 맞습니다.
(3+5)/4=2, (3+5)/2=4, (3+5)/1=8
'딱 떨어지나?'를 묻는 것은 4학년에서 배우는 배수와 약수 이야기 그대로입니다. 합이 그 수의 곱셈구구에 들어 있는지만 보면 되니, 이만한 수에서는 눈 깜짝할 새에 끝납니다.
4.OA.B.4Guess And Check4STEP 4
성공한 세 가지에서 규칙 찾기
세 가지 모두 오른쪽이 3 + 5로 같습니다.
(3+5)/4=2=1 × 2, (3+5)/2=4=1 × 4, (3+5)/1=8=2 × 4
세 답을 공통점 기준으로 다시 정리해 보면 이 퍼즐에 돌쩌귀가 하나뿐임이 드러납니다. 바로 합 8입니다. 그 돌쩌귀를 먼저 알아챘다면 세 답이 한꺼번에 나왔을 것입니다.
5.OA.A.2Organize Information In More Ways5STEP 5
카드 다섯 장을 다 썼는지 확인하기
다섯 장을 모두 쓴 답은 2, 4, 8이 되는 세 가지입니다.
십 초면 끝나는 확인이지만, 수 카드 문제에서 가장 흔한 실수인 '같은 카드 슬쩍 두 번 쓰기'를 여기서 잡아냅니다.
5.OA.A.1Make A Systematic List정답
1 × 2 = (3 + 5) ÷ 4, 1 × 4 = (3 + 5) ÷ 2, 2 × 4 = (3 + 5) ÷ 1
세 방법 모두 양변을 따로 계산해 확인합니다. 방법 1은 1 × 2 = 2이고 (3 + 5) ÷ 4 = 8 ÷ 4 = 2입니다. 방법 2는 1 × 4 = 4이고 (3 + 5) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4입니다. 방법 3은 2 × 4 = 8이고 (3 + 5) ÷ 1 = 8 ÷ 1 = 8입니다. 세 나눗셈 모두 나머지 없이 자연수로 떨어지고, 값도 카드로 만들 수 있는 범위인 1부터 9 안에 들어 있습니다. 후보로 삼은 곱 여섯 가지가 빠짐없는 목록이었으므로 네 번째, 다섯 번째 방법이 숨어 있을 수는 없습니다.
핵심 정리
양쪽이 아무리 커야 얼마인지부터 물어보세요. 답이 9를 넘지 못한다는 것만 알아도 살아남는 곱은 여섯 개뿐이라 하나씩 다 확인할 수 있습니다.
- 오른쪽이 얼마까지 커질 수 있는지 알아보기
- 9 이하인 두 카드의 곱 모두 적기
- 남은 카드 세 장으로 경우마다 확인하기
- 성공한 세 가지에서 규칙 찾기
- 카드 다섯 장을 다 썼는지 확인하기
이어서 풀어볼까요