문제
약수로 단위분수 나타내기
분모의 약수를 모두 찾습니다. 그중 합이 분자가 되는 수들을 고릅니다. 그 합을 따라 분자를 쪼개고 약분합니다. 3/8과 8/12를 단위분수의 합으로 나타냅니다.
사고력 · 초5-1 이집트 분수
내 답
조심 답이 하나뿐일 것 같지만 약수를 고르는 방법이 여러 가지일 수 있습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 틀은 이미 문제가 다 만들어 주었습니다. 실제로 머리를 써야 하는 곳은 ② 하나, 합이 분자가 되는 약수들을 고르는 대목입니다. 8 이나 12 처럼 작은 분모는 약수가 몇 개 되지 않으므로 약수를 모두 적어 놓고 작은 것부터 차례로 조합을 훑으면 조건에 맞는 묶음을 하나도 빠뜨리지 않고 찾을 수 있습니다. 이 방법이 통하는 까닭은 보는 자리를 바꾼 데 있습니다. 분수를 쪼개는 대신 분자를 쪼개는 것인데, 분모의 약수를 분자에 올려놓으면 약분되어 반드시 단위분수가 되기 때문입니다. 찾은 답은 단위분수를 도로 더해 보며 확인합니다.
1STEP 1
약수를 분자에 올리면 왜 늘 단위분수가 되는지
약수를 분자에 올리면 늘 단위분수가 됩니다.
㉠/㉡ = (㉠ ÷ ㉠)/(㉡ ÷ ㉠) = 1/(㉡ ÷ ㉠)
분자와 분모를 같은 수로 나누는 약분, 이 4학년 기술 하나에 모든 것이 얹혀 있습니다. 아무 수나가 아니라 굳이 약수를 고르라고 한 이유도 여기 있습니다.
4.NF.A.1Organize Information In More Ways분자가 분모의 약수인 분수는 언제나 단위분수로 약분된다.
왜?
분자가 분모를 정확히 나누면 둘에서 같은 수를 빼낼 수 있고, 각 약수는 자기 짝을 함께 데려온다.
🧱약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
왜?
약분하고 나면 남은 조각들 가운데 하나를 가져가는 셈이며, 그것이 단위분수가 뜻하는 바다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
2STEP 2
(1) 8 의 약수 모두 적기
8의 약수는 1, 2, 4, 8입니다.
8 = 1 × 8 = 2 × 4 → 약수 1, 2, 4, 8
1 × 8, 2 × 4 처럼 바깥에서 안으로 곱셈 짝을 좁혀 가면 빠뜨리는 약수도, 두 번 적는 약수도 생기지 않습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
(1) 합이 분자 3 이 되는 약수 찾기
합이 3인 것은 1과 2입니다.
1+2 = 3
분자보다 큰 약수를 먼저 지워 버리면 살펴볼 수가 둘로 줄어듭니다. 그 정도면 눈으로 보고 끝낼 수 있습니다.
4.OA.B.4Guess And Check4STEP 4
(1) 분자를 쪼개고 약분하기
쪼개어 약분하면 3/8 = 1/4 + 1/8입니다.
3/8 = (1+2)/8 = 1/8+2/8 = 1/8+1/4 = 1/4+1/8
분자에 적힌 합을 따라 분수를 가르는 것은 1/8 이 몇 개인지를 한 뭉치가 아니라 두 뭉치로 세는 일일 뿐입니다. 분자가 1 보다 큰 분수는 원래 그런 뜻이었습니다.
4.NF.B.3Organize Information In More Ways5STEP 5
(2) 12 의 약수 모두 적기
12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.
12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 → 약수 1, 2, 3, 4, 6, 12
약수가 여섯 개면 아직 짧은 목록입니다. 다음 단계에서 조합을 훑는 일도 충분히 감당할 수 있습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List6STEP 6
(2) 합이 분자 8 이 되는 약수 찾기
합이 8인 것은 2와 6, 또는 1과 3과 4입니다.
2+6 = 8, 1+3+4 = 8
큰 약수부터 내려오면서 조합을 쓸어 가면 어디까지 살펴봤는지가 분명해집니다. 그래야 '두 가지뿐'이라는 말을 자신 있게 할 수 있습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List7STEP 7
(2) 두 가지 답 만들기
그래서 8/12 = 1/2 + 1/6입니다.
8/12 = 1/2+1/6 또는 8/12 = 1/3+1/4+1/12
분자를 묶는 방식이 다르다는 것은 똑같은 1/12 여덟 개를 다르게 나눠 담았다는 뜻입니다. 그러니 모습은 달라도 모두 옳은 답이 나옵니다.
4.NF.B.3Organize Information In More Ways8STEP 8
구한 답을 모두 도로 더해 확인하기
도로 더하면 모두 맞습니다.
1/4+1/8 = 3/8, 1/2+1/6 = 8/12, 1/3+1/4+1/12 = 8/12
분모가 다른 분수를 통분해 더해 보는 것은 앞에서 쓴 방법을 다시 쓰지 않는 검산입니다. 그래서 약수를 고르는 단계에서 실수했다면 여기서 걸립니다.
5.NF.A.1Guess And Check정답
1/4 + 1/8, 1/2 + 1/6
1 + 2 = 3, 2 + 6 = 8
구한 답을 모두 도로 더해 보았더니 처음 분수가 그대로 나왔으니 잃은 것도 보탠 것도 없습니다. 크기로 따져도 자연스럽습니다. 3/8 은 1/2 보다 조금 작은데 1/4+1/8 도 3/8 이니 분명 1/2 아래입니다. 8/12 은 약분하면 2/3 으로 1/2 보다 넉넉히 크고, 두 답 모두 첫 조각이 1/2 이나 1/3 처럼 커서 거의 거기까지 단숨에 갑니다. 조각은 하나도 빠짐없이 분자가 1 이고, 한 답 안에서 같은 조각이 두 번 나오지도 않았습니다. 문제가 요구한 조건 그대로입니다.
핵심 정리
분자를 분모의 약수들로 쪼개 보세요. 그러면 조각 하나하나가 저절로 약분되어 단위분수가 됩니다.
- 약수를 분자에 올리면 왜 늘 단위분수가 되는지
- (1) 8 의 약수 모두 적기
- (1) 합이 분자 3 이 되는 약수 찾기
- (1) 분자를 쪼개고 약분하기
- (2) 12 의 약수 모두 적기
- (2) 합이 분자 8 이 되는 약수 찾기
- (2) 두 가지 답 만들기
- 구한 답을 모두 도로 더해 확인하기
이어서 풀어볼까요