문제
100 만들기
세 식은 98○7○6○5○4○3○2○1, 9○8○76○5○4○3○21, 9○8○7○65○4○32○1입니다. 동그라미마다 더하기나 빼기를 하나씩 써넣습니다. 세 식의 값이 모두 100이 되게 채웁니다.
사고력 · 초5-1 목표수 만들기
내 답
조심 빼기 하나가 그 수만큼 깎을 것 같지만 더하던 것을 빼게 되므로 두 배만큼 줄어듭니다.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 부호를 아무렇게나 넣어 보는 것은 승산이 없습니다. 1번 식만 해도 부호를 넣는 방법이 2⁷ = 128가지나 되니까요. 그래서 찾는 대상을 바꿉니다. 먼저 동그라미를 모두 +로 채워 값을 구하고, 그 값이 100보다 얼마나 넘치는지 본 다음, 어떤 수를 -로 뒤집을지 묻는 것입니다. 여기서 핵심이 되는 규칙은 수 하나를 +에서 -로 뒤집으면 전체 값이 그 수의 두 배만큼 줄어든다는 점입니다. 그러면 문제가 '넘친 값의 절반이 되도록 수를 골라내기'라는 깔끔한 문제로 바뀌고, 그 정도는 빠짐없이 적어 볼 수 있습니다.
1STEP 1
세 식을 모두 +로 채워 더해 보기
모두 더하기로 채우면 세 식 다 126입니다.
98+7+6+5+4+3+2+1 = 126, 9+8+76+5+4+3+21 = 126, 9+8+7+65+4+32+1 = 126
가장 쉬운 경우인 '전부 더하기'를 먼저 계산해 두면, 찾아 헤매는 문제가 '지금 얼마나, 어느 쪽으로 떨어져 있는가'를 재는 문제로 바뀝니다.
4.NBT.B.4Change Focus Count The Complement2STEP 2
- 하나가 값을 얼마나 깎는지 알아보기
빼기로 바꾸면 그 수의 두 배만큼 깎입니다.
(… + n + …) → (… - n + …): total drops by 2 × n
두 배로 줄어든다는 것을 알아채는 것이 이 문제의 전부입니다. '동그라미 일곱 개에 부호 정하기'가 '합이 정해진 값이 되도록 수 몇 개 고르기'로 바뀌니까요.
5.OA.A.2Look For A Pattern더하기 하나를 빼기로 바꾸면 모두 더한 값이 그 수의 정확히 두 배만큼 낮아진다.
왜?
어떤 수를 빼는 것은 더한 일을 되돌리므로, 먼저 그 더하기를 취소하고 다시 그 수를 빼야 한다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
각 항은 저마다의 양을 총합에 보태므로, 한 부호를 바꾸면 그 항의 몫만 달라진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
뒤집을 수들의 합이 얼마여야 하는지 구하기
그러니 뒤집을 수들의 합은 13이어야 합니다.
126-100 = 26, 26 ÷ 2 = 13
넘친 값을 반으로 나누는 이 한 번의 계산이 세 문제를 한꺼번에 열어 줍니다. 뺄셈 한 번에 2로 나누기 한 번이면 끝입니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement4STEP 4
1번 식: 98 뒤의 수들 중 합이 13이 되는 것 찾기
1번 식에서는 7 + 4 + 2가 13입니다.
7+4+2 = 13 → 98-7+6+5-4+3-2+1 = 100
고를 수가 작은 수 일곱 개뿐이라 순서대로 훑기만 해도 합이 13인 묶음을 금방 찾고, 그 합은 한 줄로 확인됩니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List5STEP 5
1번 식: 답 확인하고 다른 답도 있음을 짚어 두기
그 배열로 계산하면 100이 됩니다.
98-7+6+5-4+3-2+1 = 100
완성한 식을 왼쪽부터 걸어 보는 것은 지름길을 전혀 쓰지 않는 확인이라, 반으로 나누는 단계에서 실수가 있었다면 여기서 잡힙니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List6STEP 6
2번 식: 합이 13이 되는 묶음이 하나뿐
2번 식에서는 8 + 5뿐입니다.
8+5 = 13 → 9-8+76-5+4+3+21 = 100
이미 13보다 큰 수를 먼저 걸러 내면 남는 것은 작은 수 네 개뿐이라 몇 초 만에 전부 따져 볼 수 있습니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List7STEP 7
3번 식: 여기서도 합이 13인 묶음이 하나뿐
3번 식에서는 8 + 4 + 1뿐입니다.
8+4+1 = 13 → 9-8+7+65-4+32-1 = 100
큰 수를 치워 두고 나면 남는 수가 네 개뿐이라, 묶음을 전부 적고 합을 재 보는 일이 빠르게 끝나고 빠뜨릴 것도 없습니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List8STEP 8
긴 두 식을 직접 계산해 확인하기
직접 계산해도 세 식 모두 100입니다.
9-8+76-5+4+3+21 = 100, 9-8+7+65-4+32-1 = 100
126과 13이라는 지름길을 하나도 쓰지 않고 처음부터 다시 계산해 보는 것이라, 두 답에 대한 진짜 독립된 확인이 됩니다.
4.NBT.B.4Look For A Pattern정답
7 + 4 + 2, 8 + 5, 8 + 4 + 1
126 − 100 = 26, 26 ÷ 2 = 13
세 식을 모두 두 번씩 확인했습니다. 한 번은 지름길로 확인했습니다. 전부 더하면 126이고 26이 넘치니 합이 26 ÷ 2 = 13인 수들을 뒤집는다는 방식입니다. 다른 한 번은 완성된 식을 왼쪽부터 끝까지 더해 보았고 매번 정확히 100이 나왔습니다. 크기로 따져 봐도 자연스럽습니다. 100은 전부 더한 값 126보다 조금 작으니 작은 수 몇 개만 음수로 바뀌면 충분한데, 실제로 세 식 모두 뒤집은 수들의 합이 13에 그칩니다. 넘친 값 26이 짝수라는 것도 앞뒤가 맞습니다. 부호를 뒤집을 때마다 값은 짝수만큼 달라지기 때문입니다.
핵심 정리
먼저 전부 더해 보고, 100보다 얼마나 넘쳤는지 재고, 그 넘친 값의 절반이 되는 수들의 부호를 뒤집으세요. - 하나는 언제나 그 수의 두 배만큼 깎아 내리니까요.
- 세 식을 모두 +로 채워 더해 보기
- - 하나가 값을 얼마나 깎는지 알아보기
- 뒤집을 수들의 합이 얼마여야 하는지 구하기
- 1번 식: 98 뒤의 수들 중 합이 13이 되는 것 찾기
- 1번 식: 답 확인하고 다른 답도 있음을 짚어 두기
- 2번 식: 합이 13이 되는 묶음이 하나뿐
- 3번 식: 여기서도 합이 13인 묶음이 하나뿐
- 긴 두 식을 직접 계산해 확인하기
이어서 풀어볼까요