문제
직사각형을 나눈 도형의 넓이
넓이가 64 cm²인 정사각형이 있습니다. 네 변마다 4등분하는 점이 찍혀 있습니다. 각 변에서 점을 하나씩 골라 차례로 이었습니다. 만들어진 사각형의 넓이를 구합니다.
사고력 · 초5-1 도형의 넓이
내 답
조심 비스듬한 사각형은 재기 어려워 보이지만 각 변이 직사각형의 대각선이라 절반씩 셀 수 있습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 기울어진 사각형은 바로 쓸 수 있는 넓이 공식이 없습니다. 그래서 그림에 보조선 두 개를 더 긋습니다. 위쪽 점과 아래쪽 점을 지나는 세로선, 그리고 왼쪽 점과 오른쪽 점을 지나는 가로선입니다. 이 두 선이 정사각형을 직사각형 네 개로 자르는데, 여기서 핵심이 나옵니다. 만든 사각형의 네 변이 저마다 직사각형 하나의 대각선이 되는 것입니다. 대각선은 직사각형을 넓이가 같은 두 조각으로 나누므로 직사각형마다 정확히 절반씩만 색칠되고, 그것을 모두 더하면 답이 나옵니다. 확인은 관점을 바꿔서 합니다. 색칠되지 않고 남은 네 귀퉁이 삼각형의 넓이를 재어 64에서 빼 보는 것입니다.
1STEP 1
한 변의 길이와 등분점 사이의 간격 구하기
한 변은 8이고 점 사이 간격은 2입니다.
8 × 8 = 64 → 한 변 = 8 cm; 8 ÷ 4 = 2 cm
그림 속 모든 길이가 2 cm짜리 걸음의 몇 배로 딱 떨어집니다. 한 걸음의 크기만 알면 어떤 거리든 점을 세어 읽을 수 있습니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram2STEP 2
고른 네 점의 위치를 정확히 잡기
고른 네 점의 자리를 정확히 잡습니다.
위쪽 점과 아래쪽 점이 세로로 나란하고 왼쪽 점과 오른쪽 점이 가로로 나란하다는 것을 알아채야, 보조선을 고른 점 위에 정확히 놓을 수 있습니다.
6.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
보조선 두 개를 그어 직사각형 네 개 만들기
보조선 둘로 직사각형 네 개를 만듭니다.
2 × 6 = 12, 6 × 6 = 36, 2 × 2 = 4, 6 × 2 = 12; 12+36+4+12 = 64
네 직사각형의 넓이를 더해 다시 64가 되는지 확인해 두면, 뒤에 이어질 어려운 추론을 시작하기 전에 보조선을 제자리에 그었는지 점검할 수 있습니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems4STEP 4
사각형의 각 변이 직사각형의 대각선임을 알아채기
사각형의 각 변이 그 대각선입니다.
고른 점을 지나도록 보조선을 그은 보람이 여기서 나타납니다. 다루기 까다롭던 비스듬한 변이 평범한 직사각형의 대각선으로 바뀌었습니다.
6.G.A.1Draw A Diagram5STEP 5
대각선이 직사각형을 반으로 나눈다는 사실 쓰기
대각선은 직사각형을 반으로 나눕니다.
12/2 + 36/2 + 4/2 + 12/2 = 6+18+2+6
밑변과 높이를 직사각형과 함께 쓰는 삼각형은 언제나 그 직사각형의 절반입니다. 이 문제 전체가 이 한 가지 사실 위에 서 있습니다.
6.G.A.1Identify Subproblems대각선은 직사각형을 넓이가 정확히 같은 두 조각으로 자르므로, 각 모퉁이 삼각형은 자기 직사각형의 절반이다.
왜?
한쪽 반을 직사각형의 중심으로 반 바퀴 돌리면 다른 쪽 반에 정확히 포개지므로, 둘은 같을 수밖에 없다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
빈틈도 겹침도 없이 직사각형을 채우는 똑같은 두 조각은 저마다 그 직사각형의 같은 두 몫 가운데 하나다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
6STEP 6
절반들을 모두 더하기
절반들을 더하면 32입니다.
6+18+2+6 = 32 = 64 ÷ 2
네 직사각형이 하나도 빠짐없이 절반씩 색칠되므로 예외 없이 그냥 더하면 됩니다. 조각의 크기가 어떻든 답은 정사각형의 정확히 절반이 됩니다.
6.G.A.1Identify Subproblems7STEP 7
남은 부분을 재어 거꾸로 확인하기
남은 부분을 재어 거꾸로 세어도 32입니다.
64 - ((2 × 6)/2+(6 × 6)/2+(6 × 2)/2+(2 × 2)/2) = 64-(6+18+6+2) = 64-32 = 32
남은 조각은 두 변이 가로와 세로로 놓인 평범한 직각삼각형이라, 하나하나가 쉬운 직사각형의 절반입니다. 완전히 다른 길로 같은 수에 닿는 셈입니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement정답
32 cm²
64 ÷ 2 = 32
단위가 맞습니다. 길이를 cm로 재고 넓이는 cm와 cm를 곱해 얻었으니 답은 cm²입니다. 크기도 알맞습니다. 색칠된 사각형이 정사각형을 꽤 많이 차지하지만 전부는 아닌데, 32 cm²는 64 cm²의 정확히 절반이라 그림에서 보이는 느낌과 잘 맞습니다. 두 방법도 일치합니다. 직사각형의 절반 넷을 더해 6 + 18 + 2 + 6 = 32였고, 귀퉁이 삼각형 넷을 빼서 64 - 32 = 32였습니다. 마지막으로 색칠된 부분과 색칠되지 않은 부분이 32로 똑같이 나뉘고 둘을 더하면 64 cm²가 되는 것도 앞뒤가 맞습니다.
핵심 정리
고른 점을 지나도록 선을 그어 정사각형을 직사각형 네 개로 나눠 보세요. 사각형의 각 변이 대각선이 되어 직사각형마다 딱 절반씩 색칠되니, 답은 정사각형의 절반이랍니다.
- 한 변의 길이와 등분점 사이의 간격 구하기
- 고른 네 점의 위치를 정확히 잡기
- 보조선 두 개를 그어 직사각형 네 개 만들기
- 사각형의 각 변이 직사각형의 대각선임을 알아채기
- 대각선이 직사각형을 반으로 나눈다는 사실 쓰기
- 절반들을 모두 더하기
- 남은 부분을 재어 거꾸로 확인하기
이어서 풀어볼까요