문제
사다리꼴의 넓이
사다리꼴의 넓이를 구하는 네 방법은 삼각형 2개로 나누기, 잘라서 직사각형 2개로 만들기, 사다리꼴 2개를 붙여 평행사변형 만들기, 잘라서 평행사변형 만들기입니다. 글로 쓴 방법, 그림, 식으로 각각 나옵니다. 같은 방법끼리 짝을 지어야 합니다. 방법과 그림과 식을 알맞게 잇습니다.
사고력 · 초5-1 등적변형 (2)
내 답
조심 값이 같으니 아무렇게나 이어도 될 것 같지만 2로 나누는 자리가 방법을 갈라 줍니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 그림 하나하나가 조리법입니다. 사다리꼴이 무슨 모양으로 바뀌었는지를 그림이 그대로 말해 줍니다. 그러니 정직하게 잇는 방법은 그림을 읽고, 바뀐 뒤의 도형 이름을 붙이고, 그 도형의 넓이 공식으로 식을 세운 다음, 어느 식이 나오는지 보는 것입니다. 큰 잇기 한 번을 짐작으로 때우는 대신 작은 문제 네 개를 푸는 셈입니다. 마지막에는 네 식에 실제 수를 넣어 봅니다. 같은 문제를 쉬운 수로 줄여 본 것인데, 값이 정말 같은지 확인되면 짝짓기가 짐작에서 증명으로 바뀝니다.
1STEP 1
각 부분에 이름 붙이기
두 밑변과 높이에 이름을 붙입니다.
(사다리꼴의 넓이) = (a + b) × h ÷ 2
세 길이에 이름을 한 번 붙여 두면 긴 말로 된 식이 짧은 공식으로 읽힙니다. 그러면 두 식을 한눈에 견줘 볼 수 있습니다.
6.G.A.1Organize Information In More Ways2STEP 2
그림 ①은 방법 (다)이고 식 ㉡이 나온다
①은 같은 것 둘을 붙인 다이고 식 ㉡입니다.
(평행사변형) = (b + a) × h → (사다리꼴) = (b + a) × h ÷ 2 (㉡)
우리가 늘 쓰는 사다리꼴 공식이 바로 여기서 나옵니다. 정체 모를 ÷ 2는 알고 보면 덧붙였던 두 번째 사다리꼴을 되돌리는 계산일 뿐입니다.
6.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
그림 ②는 방법 (라)이고 식 ㉠이 나온다
②는 평행사변형으로 고친 라이고 식 ㉠입니다.
(평행사변형) = (b + a) × h/2 (㉠)
그림 ①과 견줘 보면 재미있습니다. 거기서는 높이가 그대로인 대신 사다리꼴 개수가 두 배였고, 여기서는 밑변이 두 배가 되는 대신 높이가 절반이 됩니다. 곱은 같고 장부만 다른 셈인데, ㉠과 ㉡이 그렇게 닮은 이유가 바로 이것입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems4STEP 4
그림 ③은 방법 (가)이고 식 ㉣이 나온다
③은 삼각형 둘로 자른 가이고 식 ㉣입니다.
a × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 (㉣)
두 삼각형이 같은 평행선 두 줄 사이에 끼어 있으므로 높이가 둘 다 h입니다. 대각선이 비스듬하다고 해서 달라지지 않습니다. 네 방법 가운데 이것이 가장 단순한 이유가 여기에 있습니다.
6.G.A.1Identify Subproblems5STEP 5
그림 ④는 방법 (나)이고 식 ㉢이 나온다
④는 직사각형 둘로 고친 나이고 식 ㉢입니다.
a × h/2 + b × h/2 (㉢)
모퉁이 조각이 정말 빈자리를 딱 채우는지 확인해 볼 만합니다. 절반 높이에서 자른 선이 바로 중간선이라, 남은 삼각형 하나하나가 아래 줄에서 메워야 할 홈과 크기가 같습니다.
6.G.A.1Draw A Diagram6STEP 6
네 식에 실제 수를 넣어 확인하기
수를 넣어 보면 네 식이 모두 같습니다.
㉠ & (10 + 4) × 6/2 = 14 × 3 = 42 ; ㉡ & (10 + 4) × 6 ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 ; ㉢ & 4 × 6/2 + 10 × 6/2 = 12 + 30 = 42 ; ㉣ & 4 × 6 ÷ 2 + 10 × 6 ÷ 2 = 12 + 30 = 42
수를 넣어 보는 것은 겉모습만 다른 같은 규칙인지 가장 빨리 가려내는 방법이고, 잘못 이은 짝도 바로 잡아냅니다. 짝이 어긋났다면 42가 나오지 않습니다.
6.EE.A.4Solve An Easier Related Problem7STEP 7
네 식이 언제나 같을 수밖에 없는 까닭
곱을 나누어 써도 값이 같아 언제나 맞습니다.
a × h/2 + b × h/2 = (a + b) × h/2
분배법칙을 거꾸로 읽은 것입니다. 무엇인가 × h/2가 두 몫으로 있던 것이 하나로 합쳐지는데, 이것이 그림 ④의 직사각형 두 개를 붙여 그림 ②의 평행사변형 하나로 만드는 일을 식으로 옮긴 셈입니다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways네 식은 언제나 일치할 수밖에 없는데, 저마다 똑같은 사다리꼴을 다르게 잘라 본 것일 뿐이기 때문이다.
왜?
모든 방법이 빈틈도 겹침도 없이 사다리꼴을 덮으므로, 어느 방법의 조각을 더해도 같은 넓이가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
식들은 합에서 공통인수를 넣거나 빼낸 차이뿐이며, 그것은 합의 값을 결코 바꾸지 않는다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
정답
가-③-㉣, 나-④-㉢, 다-①-㉡, 라-②-㉠
일대일로 이어졌습니다. 그림 넷과 식 넷이 각각 한 번씩만 쓰였고 남는 것이 없습니다. 갈래도 자연스럽게 나뉩니다. 곱 하나로 쓴 식 ㉠과 ㉡은 마지막에 평행사변형 하나가 남는 그림 ②, ①과 짝이 되고, 두 항의 합으로 쓴 식 ㉢과 ㉣은 사다리꼴이 두 조각으로 남는 그림 ④, ③과 짝이 됩니다. 각 짝 안에서는 h/2가 들어간 쪽이 실제로 높이가 절반이 되는 그림(둘 다 절반 높이에서 자른 그림 ②와 ④)과 이어지고, × h ÷ 2로 쓴 쪽이 높이를 그대로 쓰는 그림(①과 ③)과 이어집니다. 마지막으로 윗변 4, 아랫변 10, 높이 6인 사다리꼴에서 네 식이 모두 42를 냈습니다. 같은 넓이를 재는 식들이니 당연히 그래야 합니다.
핵심 정리
도형을 잘라서 조각을 옮겨도 차지하는 자리는 그대로입니다. 그래서 서로 다른 네 그림에서 나온 네 식이 결국 모두 같은 말이 됩니다.
- 각 부분에 이름 붙이기
- 그림 ①은 방법 (다)이고 식 ㉡이 나온다
- 그림 ②는 방법 (라)이고 식 ㉠이 나온다
- 그림 ③은 방법 (가)이고 식 ㉣이 나온다
- 그림 ④는 방법 (나)이고 식 ㉢이 나온다
- 네 식에 실제 수를 넣어 확인하기
- 네 식이 언제나 같을 수밖에 없는 까닭
이어서 풀어볼까요