문제
가장 큰 곱, 가장 작은 곱
곱셈식이 여섯 개 있고 모두 두 자리 수끼리의 곱입니다. 각 식은 숫자 3, 4, 6, 8을 한 번씩만 씁니다. 실제로 곱하지 않고 견주어야 합니다. 곱이 큰 것부터 차례로 기호를 늘어놓습니다.
사고력 · 초4-1 곱셈
내 답
조심 십의 자리 짝이 같으면 값도 같아 보이지만 남은 숫자가 승부를 가릅니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 두 자리 수의 크기는 십의 자리가 거의 다 결정합니다. 그래서 먼저 어떤 숫자 두 개를 십의 자리로 보냈는지에 따라 여섯 식을 무리로 나눕니다. 이 무리의 순서만으로 순위가 대부분 정해집니다. 남는 것은 십의 자리 숫자 짝이 같은 두 쌍의 비김뿐인데, 각각 한 줄짜리 비교로 갈라낼 수 있습니다. 곱셈을 끝까지 하는 것보다 훨씬 간단합니다.
1STEP 1
식마다 무엇이 달라지는지 살펴보기
여섯 식에서 달라지는 것은 숫자를 놓는 자리뿐입니다.
같은 숫자라도 십의 자리에 놓이면 일의 자리에 놓일 때보다 열 배의 값을 가집니다. 자릿값이 곱의 크기를 결정하는 곳이 바로 여기입니다.
4.NBT.A.2Look For A Pattern2STEP 2
십의 자리 숫자 짝으로 여섯 식을 무리 짓기
십의 자리 짝으로 무리를 지으면 크기가 갈립니다.
80 × 60 = 4800, 80 × 40 = 3200, 60 × 40 = 2400, 40 × 30 = 1200
두 수를 십의 자리까지만 남기고 버리면 어려운 곱셈 여섯 개가 0이 붙은 쉬운 곱셈 네 개로 줄어듭니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List3STEP 3
무리끼리 겹치지 않는지 확인하기
무리끼리는 값의 범위가 겹치지 않습니다.
{㉢,㉤} ＞ 4900 ＞ ㉠ ＞ 3300 ＞ ㉡ ＞ 2800 ＞ {㉣,㉥}
한쪽 수를 가까운 어림수로 바꾸면 머릿속으로도 계산할 수 있는 곱이 나옵니다. 두 곱을 정확히 구하지 않고도 어느 쪽이 큰지 밝히는 데는 그것으로 충분합니다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
㉢과 ㉤의 비김 가르기
㉢과 ㉤은 남은 숫자로 갈라 ㉢이 큽니다.
83 × 64 = 83 × 63 + 83, 84 × 63 = 83 × 63 + 63
곱을 '함께 가진 부분 더하기 한 줄 더'로 쪼개는 것은 곱셈 세로셈에 숨어 있는 분배의 원리 그대로입니다. 두 곱을 끝까지 계산하지 않고도 크기를 가릅니다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem한 곱을 다른 곱의 공통 부분에 한 줄을 더한 것으로 쓰면, 어느 쪽도 끝까지 계산하지 않고 둘을 견줄 수 있다.
왜?
어떤 수보다 1 큰 수를 곱하는 것은 그 곱에 복사본 하나를 더한 것인데, 묶음을 떼어 낼 수 있기 때문이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
이렇게 각 짝이 결판나고 나면, 따로 된 판정들이 이어져 여섯 개의 완전한 순서가 된다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
5STEP 5
㉣과 ㉥도 같은 방법으로 가르기
㉣과 ㉥도 같은 방법으로 ㉣이 큽니다.
46 × 38 = 46 × 36 + 2 × 46, 48 × 36 = 46 × 36 + 2 × 36
'함께 가진 부분 더하기 몇 줄 더'라는 이 방법은 두 곱이 거의 같은 수로 만들어졌을 때면 언제나 통합니다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem6STEP 6
기호를 순서대로 쓰기
순서는 ㉢, ㉤, ㉠, ㉡, ㉣, ㉥입니다.
5312 ＞ 5292 ＞ 3818 ＞ 3024 ＞ 1748 ＞ 1728
모든 짝의 비교가 끝나고 나면 순서대로 늘어놓는 일은 이어진 부등호를 그대로 읽어 내려가는 것에 지나지 않습니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List정답
㉢, ㉤, ㉠, ㉡, ㉣, ㉥
5312, 5292, 3818, 3024, 1748, 1728
여섯 식이 모두 두 자리 수끼리의 곱이므로 결과는 대략 1000에서 6000 사이에 있어야 하는데, 계산해 본 5312, 5292, 3818, 3024, 1748, 1728이 모두 그 범위에 들어옵니다. 순서도 알아 둘 만한 성질과 맞아떨어집니다. 두 수의 합이 같을 때에는 두 수가 서로 가까울수록 곱이 큽니다. ㉢은 83과 64로 차가 19이고 ㉤은 84와 63으로 차가 21인데 합은 둘 다 147로 같으니 ㉢이 이겨야 하고, 실제로 그렇습니다.
핵심 정리
큰 숫자는 십의 자리에 놓아야 하고, 두 곱이 거의 같을 때는 끝까지 계산하지 말고 더해진 한 줄만 비교하면 됩니다.
- 식마다 무엇이 달라지는지 살펴보기
- 십의 자리 숫자 짝으로 여섯 식을 무리 짓기
- 무리끼리 겹치지 않는지 확인하기
- ㉢과 ㉤의 비김 가르기
- ㉣과 ㉥도 같은 방법으로 가르기
- 기호를 순서대로 쓰기
이어서 풀어볼까요