문제
자연수의 혼합 계산의 최대·최소
5, 4, 3, 2, 1이 이 순서 그대로 한 줄에 놓여 있습니다. 이웃한 두 수 사이의 동그라미 네 곳에 더하기나 곱하기를 써넣습니다. 같은 기호를 여러 번 써도 됩니다. 계산 결과가 가장 작아지도록 채웁니다.
사고력 · 초5-1 자연수의 혼합 계산
내 답
조심 작게 하려면 모두 더하기 같지만 1 앞에서는 곱하기가 더 작습니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 열여섯 개나 되는 식을 아무 생각 없이 하나씩 계산하는 대신, 동그라미 하나만 떼어 놓고 작은 질문을 먼저 던져 봅니다. 이웃한 두 수 사이에 +를 넣는 쪽과 ×를 넣는 쪽 중 어느 쪽이 더 작을까요? 작은 수 몇 쌍으로 시험해 보면 규칙이 깔끔하게 드러납니다. 두 수가 모두 2 이상이면 곱한 값이 더한 값보다 작아지는 일이 없으니 +가 값을 낮게 붙들어 줍니다. 그런데 1은 이 규칙을 깨뜨립니다. 1을 곱하면 값이 그대로인데 1을 더하면 값이 커지기 때문입니다. 이 규칙 하나면 네 동그라미가 한꺼번에 정해집니다. 마지막으로 열여섯 가지를 모두 적어 놓고 더 작은 값이 숨어 있지 않은지 확인합니다.
1STEP 1
계산 순서부터 못 박아 두기
곱하기를 먼저 계산한다는 것을 못 박습니다.
5 + 4 × 3 + 2 + 1 = 5 + 12 + 2 + 1 = 20
두 가지로 읽어도 몇 초면 계산이 끝나는 짧은 식 하나로 읽는 법을 먼저 확인해 두는 것입니다. 여기서 어긋나면 뒤의 비교가 전부 헛일이 됩니다.
5.OA.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
동그라미 하나에서 +와 × 견주기
2보다 큰 두 수는 곱하면 더 커집니다.
2+3 = 5 ＜ 6 = 2 × 3, 3+4 = 7 ＜ 12 = 3 × 4, 4+5 = 9 ＜ 20 = 4 × 5
2 이상인 수를 곱한다는 것은 두 묶음 이상을 만든다는 뜻이라, 두 수를 그냥 합쳐 놓는 것보다 훌쩍 넘어가 버립니다. 여기서 값을 작게 만드는 기호가 덧셈인 까닭이 이것입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern이웃한 수가 2 이상이면 곱하기가 언제나 더하기를 넘어서므로, 값을 작게 유지하는 것은 더하기 기호다.
왜?
2 이상인 수를 곱한다는 것은 복사본을 둘 이상 취하는 일이며, 두 수를 그냥 합치는 것보다 크다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
왜?
모든 동그라미에서 비교 결과가 같은 방향으로 나오므로, 따로 된 판정들이 이어져 식 전체에 대한 하나의 선택이 된다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
3STEP 3
1 앞에서는 규칙이 뒤집힌다
그런데 1 앞에서는 곱하기가 더 작습니다.
2 × 1 = 2 ＜ 3 = 2 + 1
어떤 수의 한 묶음은 그 수 자신이니 1을 곱하는 것은 공짜입니다. 1이 있는 자리에서만 +가 아니라 ×가 값을 낮게 붙드는 이유가 바로 여기에 있습니다.
3.OA.A.1Look For A Pattern4STEP 4
네 기호를 넣고 계산하기
그래서 5 + 4 + 3 + 2 × 1 = 14입니다.
5 + 4 + 3 + 2 × 1 = 5 + 4 + 3 + 2 = 14
동그라미마다 따로 정했고 그 결정 하나하나가 값을 낮추기만 했으니, 네 개를 모두 모아 놓으면 가장 작은 식이 될 수밖에 없습니다.
5.OA.A.1Look For A Pattern5STEP 5
빠짐없이 나열해서 확인하기
열여섯 가지를 다 세어도 14가 가장 작습니다.
14 ＜ 15 ＜ 16 ＜ 19 ＜ 20 ＜ 25 ＜ 26 ＜ 27 ＜ 29 ＜ 30 ＜ 62 ＜ 63 ＜ 120 ＜ 121
열여섯 가지면 전부 써 볼 만한 양입니다. 목록을 끝까지 적는 순간, 그럴듯한 설명이 확실한 사실로 바뀝니다. 빠뜨린 식이 하나도 없으니까요.
5.OA.A.2Make A Systematic List정답
14
5 + 4 + 3 + 2 × 1 = 14
값은 단위가 없는 그냥 수이고, 자연수와 +, ×만 쓰였으니 결과도 자연수여야 합니다. 네 동그라미를 모두 +로 채우면 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15이므로 가장 작은 값이 15를 넘을 수는 없습니다. 14는 그보다 딱 1 작은데, +1을 × 1로 바꿔 아낀 그 1입니다. 반대로 5 + 4 + 3 + 2 = 14보다 작아질 수도 없습니다. 기호를 어떻게 넣든 5, 4, 3, 2는 적어도 자기 값만큼은 보태기 때문입니다. 답이 바로 그 바닥에 놓여 있으니 14가 정확히 맞고, 가장 큰 값 121과는 한참 떨어져 있습니다.
핵심 정리
+와 ×가 섞인 식을 작게 만들고 싶다면 큰 수들 사이에는 모두 +를 넣고, 1만은 더하지 말고 곱해 보세요. 한 묶음은 공짜랍니다.
- 계산 순서부터 못 박아 두기
- 동그라미 하나에서 +와 × 견주기
- 1 앞에서는 규칙이 뒤집힌다
- 네 기호를 넣고 계산하기
- 빠짐없이 나열해서 확인하기
이어서 풀어볼까요