문제
회전하는 도형
삼각형 ㄱㄴㄷ을 점 ㄱ을 중심으로 시계 방향으로 30도 돌렸습니다. 돌린 삼각형이 처음 삼각형과 겹쳐 그려져 있습니다. 각 ㄱㄷㄴ이 60도, 각 ㄱㄴ′ㄷ′이 70도로 주어집니다. 변 ㄴ′ㄷ′이 변 ㄱㄴ을 가로지르는 곳에 표시된 각 ㉠을 구합니다.
사고력 · 초4-2 도형의 이동과 각도
내 답
조심 돌린 삼각형은 각이 달라질 것 같지만 크기는 처음과 똑같습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 그림에서 두 변이 만나는 점에는 이름이 붙어 있지 않습니다. 그러니 가장 먼저 할 일은 그 점에 이름을 붙여 그림에 또렷이 표시하는 것입니다. 그 점을 ㄹ이라고 부르면 곧바로 작은 삼각형 ㄱㄴ′ㄹ이 떠오릅니다. 이 삼각형의 두 각은 회전이 거저 알려 줍니다. 꼭짓점 ㄱ의 각은 돌린 만큼인 30°, 꼭짓점 ㄴ′의 각은 그림에 적힌 70°입니다. 그러면 나머지 한 각은 삼각형의 각의 합으로 나오고, ㉠은 점 ㄹ에서 평각의 남은 부분입니다. 회전하는 모습을 머릿속으로 그려 보는 일은 그 작은 삼각형의 꼭짓점 ㄱ의 각이 정말로 회전각 30°라는 것을 납득하게 해 줍니다.
1STEP 1
돌리기가 알려 주는 것부터 적기
돌려도 각의 크기는 그대로입니다.
∠ ㄱㄴ'ㄷ' = ∠ ㄱㄴㄷ = 70°, ∠ ㄱㄷ'ㄴ' = ∠ ㄱㄷㄴ = 60°, ∠ ㄴㄱㄴ' = 30°
삼각형을 두꺼운 종이로 오려 점 ㄱ에 핀으로 꽂았다고 생각해 보세요. 종이를 돌린다고 해서 그 종이의 각이 달라지지는 않습니다. 그림에 새로 생기는 수는 돌린 각 30° 하나뿐입니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships돌리기는 첫 번째 것과 각과 변의 길이가 정확히 같은 두 번째 삼각형을 내어 준다.
왜?
돌리기는 삼각형을 자기 복사본 위에 포개므로, 모든 길이와 각이 그대로 따라간다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
돌린 각 자체는 중심에 놓여 복사된 각들과 더할 수 있는데, 각의 크기가 길이처럼 합쳐지기 때문이다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
2STEP 2
삼각형의 남은 한 각 채우기
삼각형의 남은 한 각은 50도입니다.
∠ ㄴㄱㄷ = 180° - 70° - 60° = 50°
삼각형은 두 각만 알면 나머지 한 각을 거저 알려 줍니다. 세 각을 이어 붙이면 평각이 되기 때문입니다.
8.G.A.5Identify Subproblems3STEP 3
만나는 점에 이름을 붙여 작은 삼각형 찾기
두 삼각형이 만나는 점에 이름을 붙입니다.
∠ ㄴ'ㄱㄹ = 30°, ∠ ㄱㄴ'ㄹ = 70°
선분 위에 있는 점은 바라보는 방향을 바꾸지 않습니다. 그래서 점 ㄹ까지 잰 각은 그 선분의 끝까지 잰 각과 같습니다. 이 한 가지가 그림 전체에 흩어져 있던 두 사실을 작은 삼각형 하나의 두 각으로 모아 줍니다.
4.G.A.1Draw A Diagram4STEP 4
삼각형 ㄱㄴ′ㄹ의 나머지 한 각 구하기
작은 삼각형에서 그 점의 각은 80도입니다.
∠ ㄱㄹㄴ' = 180° - 30° - 70° = 80°
삼각형의 세 각 중 둘을 알면 나머지 하나는 180°에서 남는 만큼입니다. 굳이 각도기를 댈 일이 없습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems5STEP 5
평각을 이용해 ㉠으로 바꾸기
곧은 선을 이용하면 ㉠은 100도입니다.
㉠ = 180° - ∠ ㄱㄹㄴ' = 180° - 80° = 100°
만나는 점에 서서 팔을 직선의 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 돌리면 한 바퀴의 절반, 곧 180°입니다. 그러니 변 ㄱㄴ의 같은 쪽에 있는 두 각이 그 180°를 나누어 가질 수밖에 없습니다.
7.G.B.5Identify Subproblems6STEP 6
다른 길로 한 번 더 확인하기
다른 길로 세어도 100도입니다.
∠ ㄴㄱㄷ' = 50° - 30° = 20°, ㉠ = 180° - 20° - 60° = 100°
서로 다른 두 길이 같은 수에 도착했다면, 그림에서 각도를 잘못 읽지 않았다는 가장 좋은 증거입니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
100 도
180 − 80 = 100
답은 각도이고, 100°는 직각보다 조금 큰 각입니다. 그림에서 표시된 각이 직각보다는 확실히 벌어져 있으면서 평각과는 한참 멀어 보이는 것과 잘 맞습니다. 안쪽 검산도 통과합니다. 변 ㄱㄴ의 같은 쪽에 놓인 점 ㄹ의 두 각을 더하면 80° + 100° = 180°로 평각이 됩니다. 맞꼭지각으로도 확인됩니다. 점 ㄹ에서 ㉠의 맞꼭지각은 각 ㄴㄹㄴ′인데, 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 이 각도 100°여야 하고 실제로 그렇습니다. 게다가 두 번째 길에서는 첫 번째 길이 한 번도 쓰지 않았던 60°를 써서 같은 답을 얻었으므로, 그림에 적힌 두 각도를 모두 사용해 서로 어긋나지 않음을 확인한 셈입니다. 마지막으로 그림 속 각들이 모두 말이 됩니다. 꼭짓점 ㄱ이 50°, ㄴ이 70°, ㄷ이 60°로 합이 180°이고, 변 ㄱㄴ과 변 ㄱㄷ′ 사이의 20°는 변 ㄱㄴ′과 변 ㄱㄷ′ 사이의 50°보다 작아야 하는데 실제로 작습니다.
핵심 정리
그림이 미처 이름 붙이지 못한 점에 내가 이름을 붙여 주세요. 그러면 어지럽게 겹쳐 보이던 그림이 각을 이미 다 아는 작은 삼각형 하나로 정리됩니다.
- 돌리기가 알려 주는 것부터 적기
- 삼각형의 남은 한 각 채우기
- 만나는 점에 이름을 붙여 작은 삼각형 찾기
- 삼각형 ㄱㄴ′ㄹ의 나머지 한 각 구하기
- 평각을 이용해 ㉠으로 바꾸기
- 다른 길로 한 번 더 확인하기
이어서 풀어볼까요