문제
도형 돌리기
왼쪽에 본보기 다각형 가, 나, 다가 있습니다. 오른쪽 큰 정사각형은 이름 없는 조각들로 빈틈없이 채워져 있습니다. 가, 나, 다와 모양도 크기도 같은 조각이 돌려진 채 하나씩 숨어 있습니다. 그 조각을 찾아 기호를 써넣습니다.
사고력 · 초4-1 도형의 이동
내 답
조심 닮아 보이면 고르고 싶지만 뒤집힌 조각은 아무리 돌려도 본보기와 겹치지 않습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 본보기를 머릿속에서 돌려 가며 조각 하나하나에 맞춰 보는 방법은 힘도 들고 미덥지도 않습니다. 오목한 다각형은 돌려 놓으면 자기 자신처럼 보이지 않기 때문입니다. 그 대신 가, 나, 다마다 돌려도 절대 변하지 않는 것들을 짧게 적어 둡니다. 변이 몇 개인지, 안쪽으로 파인 꼭짓점이 몇 개인지, 변 길이들이 서로 어떻게 다른지입니다. 이 목록이 곧 신분증입니다. 그다음 정사각형 안의 조각들을 훑으며 신분증이 맞지 않는 것을 모두 지우고, 살아남은 몇 개만 머릿속에서 돌려 보면 됩니다. 후보가 유한하고 수도 적으니 지워 나가는 방법이 안전합니다.
1STEP 1
돌려도 변하지 않는 것 정하기
돌려도 변의 개수와 길이는 그대로입니다.
이 사실이 있어서 이 문제가 공평해집니다. 개수와 길이만으로 만든 지문이 어떤 각도로 돌렸든 그대로 남는다는 보장이 생기는 것입니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships돌리기는 조각의 변의 개수나 길이를 바꿀 수 없으므로, 그 수치들은 어떤 회전에도 살아남는다.
왜?
돌리기는 조각을 자기 복사본 위에 포개므로, 모든 변은 길이를, 모든 꼭짓점은 각을 그대로 지킨다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
따라서 수치가 본과 다른 조각은 돌려 보지도 않고 곧바로 버릴 수 있다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
2STEP 2
가, 나, 다의 신분증 적기
가, 나, 다의 변 수와 골 수를 신분증처럼 적습니다.
변을 세고 골을 세는 데에는 자도 각도기도 필요 없습니다. 그런데 이 두 수만으로도 조각들이 서로 섞일 수 없는 무리로 갈라집니다.
8.G.A.2Make A Systematic List3STEP 3
변의 개수와 골의 개수로 후보 지우기
변 수나 골 수가 다른 조각은 바로 지웁니다.
손쉬운 세기 두 번이 찾는 일의 거의 전부를 해 줍니다. 머릿속으로 돌려 보는 느린 작업은 스무 번 넘게가 아니라 몇 번만 하면 됩니다.
8.G.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
다와 짝이 되는 조각 찾기
5변에 골 1개인 다는 가운데 왼쪽 조각입니다.
5개의 변, 1개의 골, 가장 긴 변≈ 2×그다음으로 긴 변
변 길이가 가장 들쭉날쭉한 본보기부터 손대는 것이 일하는 순서로 영리합니다. 어린 학생도 눈대중만으로 붙잡을 수 있는 조각이기 때문입니다.
8.G.A.2Visualize Spatial Relationships5STEP 5
가와 짝이 되는 조각 찾기
6변에 골 1개인 가는 오른쪽 조각입니다.
6개의 변, 1개의 골, 시계 방향 70° 쯤 돌리기
어느 조각인지 마음을 정하고 나면 확인은 금방입니다. 두 도형의 골에 각각 손끝을 대고, 골에서 뻗어 나가는 두 변의 길이가 서로 맞는지만 보면 됩니다.
8.G.A.2Visualize Spatial Relationships6STEP 6
나와 짝이 되는 조각 찾기
8변에 골 2개인 나는 왼쪽 아래 모퉁이 조각입니다.
8개의 변, 2개의 골, 205° 쯤 돌리기
정사각형 모퉁이에 끼워진 조각은 두 변이 곧고 서로 직각이 되도록 정해져 있습니다. 변의 개수로 후보를 좁힌 뒤에는 이것이 아주 든든한 단서가 됩니다.
8.G.A.2Visualize Spatial Relationships7STEP 7
찾은 셋이 유일한 짝인지 확인하기
셋 다 뒤집지 않고 돌리기만 해서 겹칩니다.
그럴듯한 조각이 하나 나왔다고 멈추지 않고 끝까지 훑는 것, 그것이 짐작을 답으로 바꿔 줍니다.
8.G.A.2Eliminate Possibilities정답
가 = 오른쪽 조각, 나 = 왼쪽 아래 조각, 다 = 가운데 왼쪽 조각
답이 된 조각은 저마다 하나씩이고, 세 조각이 서로 다르며 정사각형 안의 서로 다른 자리에 흩어져 있습니다. 기호 세 개를 따로 써넣게 되어 있는 문제와 잘 맞습니다. 크기도 그럴듯합니다. 다라고 적은 조각은 셋 가운데 가장 작은데 본보기 다도 셋 가운데 가장 작고, 나라고 적은 조각은 가장 큰데 본보기 나도 가장 큽니다. 고른 조각들의 변의 개수 6개, 8개, 5개도 본보기와 정확히 같습니다. 또 어느 본보기도 뒤집을 필요가 없었고 돌리기만 하면 되었는데, 이것이 바로 문제가 미리 말해 둔 조건입니다.
핵심 정리
도형을 돌려도 변의 개수와 골의 개수는 절대 변하지 않아요. 그 둘부터 세어 보면 문제의 대부분이 저절로 풀립니다.
- 돌려도 변하지 않는 것 정하기
- 가, 나, 다의 신분증 적기
- 변의 개수와 골의 개수로 후보 지우기
- 다와 짝이 되는 조각 찾기
- 가와 짝이 되는 조각 찾기
- 나와 짝이 되는 조각 찾기
- 찾은 셋이 유일한 짝인지 확인하기
이어서 풀어볼까요