문제
숨겨진 이등변삼각형
정사각형 ㄱㄴㄷㄹ이 있습니다. 아래 변 ㄴㄷ을 한 변으로 하는 정삼각형 ㅁㄴㄷ이 정사각형 안에 그려져 있습니다. 점 ㄱ에서 점 ㅁ을 지나는 곧은 선이 그어져 있습니다. 표시된 각 ㉠의 크기를 구합니다.
사고력 · 초4-2 삼각형과 각도
내 답
조심 숨은 삼각형이 그냥 삼각형 같지만 정사각형과 정삼각형의 변이 같아 이등변삼각형입니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 그림에서 ㉠에 곧바로 닿는 조건은 하나도 없어서 한 번에 구할 수가 없습니다. 그래서 각을 모두 알아낼 수 있는 작은 삼각형을 먼저 찾고, 거기서 알아낸 것을 점 ㅁ으로 옮겨 옵니다. 정사각형과 정삼각형이 변 ㄴㄷ을 함께 쓰고 있으니 길이가 같은 선분이 여럿 숨어 있는데, 같은 길이 표시를 그림에 해 두면 아무도 말해 주지 않은 이등변삼각형 하나가 드러납니다. 그 숨은 삼각형만 풀리면, 점 ㄱ·ㅁ·ㅂ을 지나는 곧은 선이 나머지를 답까지 실어다 줍니다.
1STEP 1
길이가 같은 선분에 모두 표시하기
정사각형과 정삼각형의 변이 같아 이등변삼각형이 숨어 있습니다.
ㄱㄴ = ㄴㄷ = ㅁㄴ → 삼각형 ㄱㄴㅁ은 이등변삼각형
정사각형은 네 변이 같고 정삼각형은 세 변이 같습니다. 두 도형이 한 변을 함께 쓰면 그 선분들이 모두 같은 길이가 되니, 그림에 작은 눈금 표시를 해 두면 숨어 있던 이등변삼각형이 툭 튀어나옵니다.
2.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
숨은 삼각형의 꼭지각 구하기
그 꼭지각은 90 − 60 = 30도입니다.
∠ ㄱㄴㅁ = ∠ ㄱㄴㄷ - ∠ ㅁㄴㄷ = 90° - 60° = 30°
각의 크기는 길이처럼 더하고 뺄 수 있습니다. 반직선 하나가 큰 각 안쪽을 지나면 그 각을 두 조각으로 나누므로, 원하는 조각은 뺄셈 한 번이면 나옵니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems3STEP 3
삼각형 ㄱㄴㅁ의 두 밑각 구하기
두 밑각은 각각 75도입니다.
∠ ㄴㄱㅁ = ∠ ㄱㅁㄴ = (180° - 30°) ÷ 2 = 150° ÷ 2 = 75°
길이가 같은 두 변이 마주 보는 두 각도 같게 만듭니다. 그래서 이등변삼각형은 수 하나만 알면 됩니다. 180°에서 꼭지각을 빼고 남은 것을 똑같이 둘로 나누면 끝입니다.
8.G.A.5Identify Subproblems삼각형 ABE는 두 변의 길이가 같으므로 두 밑각이 같고, 꼭지각이 둘을 한꺼번에 정해 준다.
왜?
같은 변은 언제나 같은 각을 마주 보므로, 삼각형을 어떻게 그리든 두 밑각은 다를 수 없다.
🧱같은 변은 같은 각을 마주 본다이등변삼각형을 가운데로 접으면 같은 두 변이 서로 포개지며 두 밑각도 함께 포개지므로 두 밑각은 같다 — 거꾸로도 성립한다.
왜?
삼각형의 세 각은 평각 하나를 이루므로, 꼭지각을 빼면 고르게 나눌 값이 정해진다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
4STEP 4
점 ㅁ에서 곧은 선을 따라 놓인 세 각 더하기
점 ㅁ에서 세 각이 곧은 선을 이룹니다.
∠ ㄱㅁㄴ + ∠ ㄴㅁㄷ + ∠ ㅂㅁㄷ = 180°
그림을 '평각 하나가 이웃한 세 조각으로 잘렸다'로 다시 읽으면, 어려워 보이던 도형 문제가 빈칸 하나짜리 덧셈식으로 바뀝니다.
7.G.B.5Organize Information In More Ways5STEP 5
㉠ 구하기
빼면 ㉠은 45도입니다.
∠ ㅂㅁㄷ = 180° - 75° - 60° = 45°
평각이 이름 붙은 조각들로 나뉘고 나면, 빠진 조각을 찾는 일은 그냥 뺄셈입니다. 4학년에서 각도기로 연습하던 바로 그 기술입니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
45 도
180 − 75 − 60 = 45
답이 각이므로 단위가 도인 것이 맞고, 45°라는 크기도 그럴듯합니다. 그림에서 ㉠은 분명히 예각이고, 바로 옆에 있는 정삼각형의 60°짜리 각보다 작아 보이는데 45 ＜ 60이 그것을 말해 줍니다. 점 ㅁ에서의 세 조각도 75° + 60° + 45° = 180°로 딱 맞아떨어지니, 평각을 흘리거나 두 번 센 곳이 없습니다. 하나 더 확인하면, 각 ㄴㄱㅁ이 75°이므로 각 ㅁㄱㄹ은 90° - 75° = 15°로 아주 작습니다. 그래서 꼭짓점 ㄱ에서 그은 선이 오른쪽 변과 만나는 점 ㅂ이 꼭짓점 ㄹ보다 조금만 아래에 있는 것이고, 그림 그대로입니다.
핵심 정리
정사각형과 정삼각형이 한 변을 함께 쓰면 그 변들의 길이가 모두 같아져요. 같은 길이에 표시를 해 보면 숨어 있던 이등변삼각형이 나타나서 필요한 각을 건네준답니다.
- 길이가 같은 선분에 모두 표시하기
- 숨은 삼각형의 꼭지각 구하기
- 삼각형 ㄱㄴㅁ의 두 밑각 구하기
- 점 ㅁ에서 곧은 선을 따라 놓인 세 각 더하기
- ㉠ 구하기
이어서 풀어볼까요