문제
정다각형
정오각형 ㄱㄴㄷㄹㅁ이 그려져 있습니다. 변 ㄹㅁ을 한 변으로 하는 정삼각형이 안쪽에 세워져 있습니다. 정오각형의 변과 정삼각형의 변은 길이가 같습니다. 표시된 각 ㉠을 구합니다.
사고력 · 초4-2 다각형과 각도
내 답
조심 정오각형의 한 각을 대충 잡기 쉽지만 정확히 108도입니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 구하려는 각은 삼각형 ㄷㄹㅂ 안에 들어 있으니, 할 일은 그 삼각형 하나에 대해 충분히 알아내는 것뿐입니다. 그러려면 작은 물음 두 개를 먼저 풀어야 합니다. 하나는 정오각형의 한 내각이 얼마인가인데, 오각형을 삼각형으로 잘라 나누면 이미 아는 문제로 바뀝니다. 다른 하나는 삼각형 ㄷㄹㅂ이 왜 이등변삼각형인가인데, 길이가 같은 선분에 표시를 해 보면 바로 드러납니다. 이등변삼각형의 꼭지각을 알면 두 밑각은 곧바로 따라 나옵니다.
1STEP 1
정오각형의 한 내각 구하기
정오각형의 한 내각은 108도입니다.
180° × (5-2) = 540°, 540° ÷ 5 = 108°
오각형은 어렵지만 삼각형은 쉽습니다. 그런데 삼각형 세 개를 붙이면 오각형이 되니, '삼각형의 세 각의 크기의 합은 180°'라는 사실 하나로 더 큰 도형까지 열립니다.
8.G.A.5Solve An Easier Related Problem2STEP 2
길이가 같은 선분에 모두 표시하기
변의 길이가 같아 이등변삼각형이 생깁니다.
ㄷㄹ = ㄹㅁ = ㄹㅂ → 삼각형 ㄷㄹㅂ은 이등변삼각형
'정오각형'과 '정삼각형'이라는 말은 둘 다 길이가 같은 선분이 많다는 약속입니다. 그런 선분에 빠짐없이 표시를 해 보면 어느 삼각형이 몰래 이등변삼각형이었는지 드러납니다.
2.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
꼭짓점 ㄹ의 꼭지각 구하기
그 꼭지각은 108 − 60 = 48도입니다.
∠ ㄷㄹㅂ = ∠ ㄷㄹㅁ - ∠ ㅂㄹㅁ = 108° - 60° = 48°
각도 나란히 붙어 있으면 길이처럼 행동합니다. 정삼각형과 정오각형의 변 사이에 남은 부채꼴은 뺄셈 한 번이면 구해집니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems4STEP 4
남은 각을 두 밑각에 똑같이 나누기
남은 각을 반씩 나누어 ㉠은 66도입니다.
∠ ㄹㄷㅂ = ∠ ㄹㅂㄷ = (180° - 48°) ÷ 2 = 132° ÷ 2 = 66°
이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변을 마주 보는 두 각은 크기가 같아야 합니다. 그러니 꼭지각만 알면 남은 180°를 똑같이 나누어 갖게 되어, 뺄셈 한 번과 반으로 나누기 한 번으로 끝납니다.
8.G.A.5Identify Subproblems두 변의 길이가 같으므로, 꼭지각을 뺀 나머지는 두 밑각에 고르게 나뉜다.
왜?
같은 변은 같은 각을 마주 보므로, 꼭지각이 무엇이든 두 밑각은 크기가 같아야 한다.
🧱같은 변은 같은 각을 마주 본다이등변삼각형을 가운데로 접으면 같은 두 변이 서로 포개지며 두 밑각도 함께 포개지므로 두 밑각은 같다 — 거꾸로도 성립한다.
왜?
세 각은 평각 하나를 이루므로, 꼭지각을 빼면 두 각이 나누어 가질 값이 정해진다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
정답
66 도
180 − 48 = 132, 132 ÷ 2 = 66
구한 것이 각이니 단위가 도인 것도 맞고, 66°라는 크기도 알맞습니다. 꼭짓점 ㄷ에 있는 정오각형의 내각 108°보다 작아서 선분 ㄷㅂ 반대쪽에 각 ㄴㄷㅂ으로 108° - 66° = 42°가 남습니다. 남은 각이 양쪽 모두 0°보다 크다는 것은 점 ㅂ이 정말 정오각형 안쪽에 있고 선분 ㅂㄷ이 그림처럼 안쪽을 가로지른다는 뜻입니다. 삼각형도 잘 닫힙니다. 48° + 66° + 66° = 180°입니다. 마지막으로 66°는 직각을 셋으로 나눈 것 중 둘, 곧 60°보다 조금 큰 정도인데, 그림에 그려진 각도 45°보다는 확실히 커 보이고 직각보다는 작아 보이니 잘 맞습니다.
핵심 정리
정오각형의 한 변과 정삼각형의 한 변은 길이가 같아요. 그래서 남은 삼각형이 이등변삼각형이 되지요. 108°에서 60°를 빼고, 남은 180°를 똑같이 나누어 주면 끝이랍니다.
- 정오각형의 한 내각 구하기
- 길이가 같은 선분에 모두 표시하기
- 꼭짓점 ㄹ의 꼭지각 구하기
- 남은 각을 두 밑각에 똑같이 나누기
이어서 풀어볼까요