문제
이등변삼각형
삼각형 ㄱㄴㄷ 안에 점 ㅇ이 있고 세 꼭짓점과 이어져 있습니다. 선분 ㄱㅇ, ㄴㅇ, ㄷㅇ의 길이가 모두 같습니다. 각 ㄴㄱㅇ이 20도, 각 ㄱㄷㅇ이 40도로 주어집니다. 꼭짓점 ㄴ에서 선분 ㄴㅇ과 밑변 ㄴㄷ이 이루는 각 ㉠을 구합니다.
사고력 · 초4-2 삼각형과 각도
내 답
조심 각만 보고 풀려 하면 막히는데, 길이가 같다는 말이 이등변삼각형 셋을 만들어 줍니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 안에 점이 하나 들어 있는 큰 삼각형은 복잡해 보이지만, 길이가 같다는 조건은 사실 따로 떨어진 세 가지 사실입니다. (선분 ㄱㅇ) = (선분 ㄴㅇ)이니 삼각형 ㄱㄴㅇ이 이등변삼각형이고, (선분 ㄱㅇ) = (선분 ㄷㅇ)이니 삼각형 ㄱㄷㅇ이 이등변삼각형이며, (선분 ㄴㅇ) = (선분 ㄷㅇ)이니 삼각형 ㄴㄷㅇ도 이등변삼각형입니다. 작은 삼각형마다 이미 아는 각을 하나씩 그대로 복사해 주므로, 먼저 이 작은 문제 세 개를 풉니다. 그다음 여섯 조각의 각을 큰 삼각형의 세 각으로 다시 묶고, 삼각형의 세 각의 크기의 합이 180°라는 사실로 마무리합니다.
1STEP 1
숨어 있는 작은 삼각형 세 개를 찾기
점 ㅇ이 만든 작은 삼각형 셋이 모두 이등변입니다.
ㄱㅇ = ㄴㅇ = ㄷㅇ
첫걸음은 그림을 꼼꼼히 읽는 것 하나뿐입니다. 작은 삼각형마다 길이가 같은 세 선분 중 두 개를 변으로 쓰고 있다는 것을 알아채는 순간, 선이 얽혀 있던 자리에 이등변삼각형 세 개가 나타납니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
삼각형 ㄱㄴㅇ이 20°를 하나 더 만들어 준다
그래서 ㄴ쪽에도 20도가 하나 생깁니다.
∠ ㄱㄴㅇ = ∠ ㄴㄱㅇ = 20°
이등변삼각형을 반으로 접으면 길이가 같은 두 변이 서로 포개지고, 그러면서 두 밑각도 함께 포개집니다. 그래서 두 변의 길이가 같으면 두 밑각의 크기도 반드시 같아집니다.
8.G.A.1Identify Subproblems삼각형 ABH는 두 변의 길이가 같으므로, 한쪽 끝의 20도가 다른 쪽 끝에도 복사된다.
왜?
이등변삼각형을 가운데로 접으면 같은 두 변이 서로 포개지며 두 밑각도 함께 포개진다.
🧱같은 변은 같은 각을 마주 본다이등변삼각형을 가운데로 접으면 같은 두 변이 서로 포개지며 두 밑각도 함께 포개지므로 두 밑각은 같다 — 거꾸로도 성립한다.
왜?
작은 삼각형들은 같은 꼭짓점에서 나란히 놓이므로, 그 각들을 큰 삼각형의 각으로 더할 수 있다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
3STEP 3
삼각형 ㄱㄷㅇ이 40°를 하나 더 만들어 준다
ㄷ쪽에도 40도가 하나 생깁니다.
∠ ㅇㄱㄷ = ∠ ㄱㄷㅇ = 40°
접어 보는 똑같은 설명을 한 번 더 쓸 뿐입니다. 새로 배울 것은 없고, 이미 아는 40°가 밑변 반대쪽 끝으로 옮겨 갈 뿐입니다.
8.G.A.1Identify Subproblems4STEP 4
삼각형 ㄴㄷㅇ이 ㉠을 하나 더 만들어 준다
아래쪽 삼각형은 ㉠이 두 개 생깁니다.
∠ ㅇㄷㄴ = ∠ ㅇㄴㄷ = ㉠
㉠이 아직 얼마인지는 몰라도, 그것이 두 번 나타난다는 사실만으로도 큰 소득입니다. 한 번만 나오는 모르는 수보다 두 번 나오는 모르는 수가 훨씬 붙잡기 쉽습니다.
8.G.A.1Identify Subproblems5STEP 5
큰 삼각형의 세 각을 다시 맞춰 보기
큰 삼각형의 세 각은 60도와 나머지로 나뉩니다.
∠ ㄴㄱㄷ = 20° + 40° = 60°, ∠ ㄱㄴㄷ = 20° + ㉠, ∠ ㄱㄷㄴ = 40° + ㉠
각의 크기는 그냥 더해집니다. 한 꼭짓점에 나란히 붙어 있는 두 각은 합한 크기의 큰 각 하나가 되므로, 작은 조각 여섯 개가 삼각형 ㄱㄴㄷ의 세 각으로 되묶입니다.
4.MD.C.7Organize Information In More Ways6STEP 6
삼각형의 세 각의 크기의 합으로 마무리하기
180도에서 빼고 반으로 나누어 ㉠은 30도입니다.
120° + ㉠ + ㉠ = 180° → ㉠ + ㉠ = 60° → ㉠ = 30°
아는 각이 하나도 빠짐없이 두 번씩 나왔기 때문에 180°가 90°씩 똑같이 둘로 갈라집니다. 그래서 모르는 각 하나가 뺄셈 한 번, 반으로 나누기 한 번에 잡힙니다. 어려운 식은 필요 없습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems정답
30 도
180 − 120 = 60, 60 ÷ 2 = 30
30°는 표시된 각의 크기로 알맞습니다. 0°와 180° 사이이고 예각이며, 그림에서 꼭짓점 ㄴ에 그려진 호도 직각보다 한참 좁은 부채꼴로 그려져 있습니다. 답을 되돌려 넣어 보면 각 ㄴㄱㄷ은 60°, 각 ㄱㄴㄷ은 20° + 30° = 50°, 각 ㄱㄷㄴ은 40° + 30° = 70°이고, 60° + 50° + 70° = 180°이므로 삼각형이 딱 맞아떨어집니다. 하나 더 확인할 것이 있습니다. 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같은 점은 삼각형의 세 각이 모두 예각일 때에만 삼각형 안에 놓입니다. 60°, 50°, 70°는 모두 예각이니, 그림에서 점 ㅇ이 삼각형 안에 있는 것도 바로 그 때문입니다.
핵심 정리
두 변의 길이가 같으면 두 밑각의 크기도 같아요. 그러니 길이가 같은 선분을 하나 찾을 때마다, 이미 알고 있는 각을 하나씩 덤으로 받는 셈이랍니다.
- 숨어 있는 작은 삼각형 세 개를 찾기
- 삼각형 ㄱㄴㅇ이 20°를 하나 더 만들어 준다
- 삼각형 ㄱㄷㅇ이 40°를 하나 더 만들어 준다
- 삼각형 ㄴㄷㅇ이 ㉠을 하나 더 만들어 준다
- 큰 삼각형의 세 각을 다시 맞춰 보기
- 삼각형의 세 각의 크기의 합으로 마무리하기
이어서 풀어볼까요