문제
덩어리로 각도 구하기
삼각형 ㄱㄴㄷ에서 꼭짓점 ㄱ의 각이 40도입니다. 점 ㄹ은 삼각형 안에 있고 ㄴ, ㄷ과 이어져 삼각형 ㄴㄹㄷ을 이룹니다. 선분 ㄴㄹ과 ㄷㄹ은 각 ㄴ과 각 ㄷ을 각각 반으로 나눕니다. 각 ㄴㄹㄷ의 크기를 구합니다.
사고력 · 초4-1 삼각형과 각도
내 답
조심 각 ㄴ과 각 ㄷ을 하나씩 구하려 하면 막히는데, 정해지는 것은 두 각의 합뿐입니다.
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 각 ㄱㄴㄷ이나 각 ㄱㄷㄴ을 각각 알아낼 만한 조건이 없으므로, 하나씩 쫓아가는 방법은 막다른 길이다. 그래서 정보를 묶는 방식을 바꾼다. 아래쪽 두 각 ㄹㄴㄷ과 ㄹㄷㄴ은 따로따로 알 필요가 전혀 없고, 삼각형 ㄴㄹㄷ에서 쓸모 있는 것은 둘의 합뿐이다. 그러니 이 둘을 하나의 덩어리로 보고, 그 덩어리를 큰 삼각형에서 구한 뒤 작은 삼각형으로 그대로 옮겨 온다.
1STEP 1
밑변을 함께 쓰는 두 삼각형 알아보기
두 삼각형이 밑변 ㄴㄷ을 함께 씁니다.
두 삼각형에 이름을 붙이고 밑변 ㄴㄷ을 함께 쓴다는 것을 알아보는 일은 그림을 찬찬히 읽는 것뿐이다. 그런데 바로 그 공통 밑변이 한 삼각형에서 얻은 답을 다른 삼각형으로 건네준다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
큰 삼각형의 아래 두 각을 한 덩어리로 구하기
큰 삼각형의 아래 두 각의 합은 140도입니다.
∠ ㄱㄴㄷ + ∠ ㄱㄷㄴ = 180° - 40° = 140°
삼각형의 세 각의 합은 전체 합만 알려 줄 뿐 각각의 크기는 알려 주지 않는다. 그러니 정직하게 합만 적어 두면 되고, 다음 단계에서 필요한 것도 마침 그 합뿐이다.
8.G.A.5Organize Information In More Ways3STEP 3
덩어리째 절반으로 나누기
둘 다 반으로 나뉘므로 합의 절반은 70도입니다.
∠ ㄹㄴㄷ + ∠ ㄹㄷㄴ = 1/2(∠ ㄱㄴㄷ + ∠ ㄱㄷㄴ) = 140° ÷ 2 = 70°
각의 크기는 길이처럼 더할 수 있다. 그래서 각각을 반으로 나눈 뒤 더하는 것과, 먼저 더한 뒤 반으로 나누는 것은 결과가 같다. 사과 8개의 절반과 사과 6개의 절반을 합하면 사과 14개의 절반인 것과 똑같은 이치다.
4.MD.C.7Organize Information In More Ways덩어리 전체를 한 번에 반으로 나누어도 각을 따로 반으로 나눠 더한 것과 같으므로, 조각을 갈라놓을 필요가 없다.
왜?
각의 크기는 길이와 똑같이 더해지므로, 두 각의 합은 하나의 양처럼 다루어진다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
왜?
합의 절반은 절반들의 합이므로, 공통된 배율을 덩어리 전체에 한꺼번에 적용할 수 있다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
4STEP 4
작은 삼각형 안에서 마무리하기
작은 삼각형에서 각 ㄴㄹㄷ은 180 − 70 = 110도입니다.
∠ ㄴㄹㄷ = 180° - 70° = 110°
삼각형에서 나머지 두 각의 합만 알면 셋째 각은 뺄셈 한 번으로 끝난다. 그 합을 굳이 둘로 쪼갤 필요가 없다.
8.G.A.5Identify Subproblems정답
110 도
180 − 70 = 110
110°는 둔각인데, 그림에서 점 ㄹ에 넓게 그려진 호와 잘 어울린다. 삼각형의 한 각이므로 180°보다 작아야 한다는 조건도 지킨다. 또 꼭짓점 ㄱ의 40°보다 크다는 점도 그럴듯하다. 점 ㄹ은 삼각형 안쪽 낮은 곳에 있어서 멀리 있는 꼭짓점 ㄱ에서 볼 때보다 밑변 ㄴㄷ이 훨씬 넓게 벌어져 보이기 때문이다. 식으로도 확인해 보자. 답은 90° + 40° ÷ 2 = 110°의 꼴로 나왔다. 그러니 각 ㄱ이 0°라면 답은 90°에 가까워지고, 180°에 가까운 납작한 삼각형이라면 답도 180°에 가까워진다. 양쪽 끝 모두 자연스럽다.
핵심 정리
두 각을 따로따로 구할 수 없다면 둘의 합을 한 덩어리로 구해 보세요. 다음 삼각형이 필요로 하는 것이 바로 그 덩어리일 때가 많거든요.
- 밑변을 함께 쓰는 두 삼각형 알아보기
- 큰 삼각형의 아래 두 각을 한 덩어리로 구하기
- 덩어리째 절반으로 나누기
- 작은 삼각형 안에서 마무리하기
이어서 풀어볼까요