문제
수직과 평행
점판에 가로 5개, 세로 4개씩 점이 일정한 간격으로 찍혀 있습니다. 선분 하나가 이미 그어져 있습니다. 그 선분을 한 변으로 하는 평행사변형만 그립니다. 마름모가 아닌 평행사변형이 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초4-2 점을 이어 만든 도형의 개수
내 답
조심 여덟 가지를 다 세고 싶지만 네 변이 같아지는 마름모 둘은 빼야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 한 변이 이미 정해진 평행사변형은 오직 한 가지, 곧 다음 변이 '오른쪽으로 몇 칸, 아래로 몇 칸' 가는지에 따라 완전히 결정됩니다. 그러니 그림 문제가 짧은 목록 문제로 바뀝니다. 게다가 주어진 선분이 이미 왼쪽 끝과 맨 윗줄에 닿아 있어서 점판의 가장자리가 후보를 크게 줄여 줍니다. 후보가 몇 개 안 되니 빠짐없이 적어 놓을 수 있고, 그다음 주어진 선분과 길이가 같은 이동만 마름모라는 이유로 지우면 됩니다. 마지막에는 남은 것을 점판에 하나씩 그려 정말 들어맞는지 확인합니다.
1STEP 1
이동 하나가 평행사변형 전체를 정한다는 것 알기
두 번째 변의 이동 하나가 평행사변형을 정합니다.
ㄱ = (1, 2), ㄴ = (3, 1)
두 변이 평행한지는 눈대중으로 기울기를 재는 대신 가로로 몇 칸, 세로로 몇 칸인지를 세어 확인합니다. 한 변을 그대로 밀어 짝을 만들면 평행은 저절로 보장됩니다.
4.G.A.2Draw A Diagram주어진 변이 정해지면 그 한쪽 끝에서 내딛는 한 걸음이 평행사변형 전체를 결정한다.
왜?
맞은편 변은 다른 쪽 끝에서 같은 걸음이어야 하므로, 한 걸음이 평행사변형 하나만을 가리킨다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
양 끝에서 같은 걸음을 복사하면 새로 생긴 두 변이 같은 방향으로 나아가 결코 만나지 않으며, 그것이 평행사변형이 약속하는 바다.
🧱평행선의 간격은 일정하다두 평행선은 결코 만나지 않으며 어디에서 재도 둘 사이 거리는 같다.
2STEP 2
점판 가장자리로 대부분의 이동 지우기
점판을 벗어나는 이동을 지우면 8가지가 남습니다.
3 × 3 - 1 = 8
점이 아직 점판 위에 남아 있는지 확인하는 일은 칸 세기에 지나지 않는데, 이것만으로 후보 여러 무리가 한꺼번에 사라집니다.
4.G.A.1Eliminate Possibilities3STEP 3
후보 8가지를 적고 그려 보기
여덟 가지를 하나씩 그려 봅니다.
가로부터 세로 순으로 이동을 차례차례 적어 나가는 것이, 어린 학생이 빠뜨린 것이 없다고 확신할 수 있는 가장 확실한 방법입니다.
4.G.A.1Make A Systematic List4STEP 4
8가지 가운데 마름모 찾아내기
그중 네 변이 같은 마름모 2개를 가려냅니다.
점판을 사분의 일 바퀴 돌려 놓고 보면 비스듬한 이동이 주어진 선분 위에 그대로 포개지는 것이 눈에 들어옵니다. 돌리기와 뒤집기가 길이를 바꾸지 않는다는 규칙을 손으로 확인하는 셈입니다.
8.G.A.1Eliminate Possibilities5STEP 5
남은 것을 세고 그리기
빼면 6개가 남습니다.
8 - 2 = 6
적어 놓은 꼭짓점이 모두 5 곱하기 4 점판에 실제로 있는 점이므로, 점을 하나씩 짚어 보는 것만으로 그림을 확인할 수 있습니다.
4.G.A.2Make A Systematic List정답
6 개
8 − 2 = 6
답이 6개라는 것은 문제에 인쇄된 빈 점판 수와 정확히 같습니다. 빠뜨린 것도, 두 번 센 것도 없다는 든든한 신호입니다. 그림마다 따로 확인해 볼 수도 있습니다. 오른쪽 1칸인 경우를 봅시다. 꼭짓점은 (1,2), (3,1), (4,1), (2,2)인데, (1,2)에서 (3,1)로 가는 변과 (2,2)에서 (4,1)로 가는 변은 둘 다 오른쪽 2칸에 위로 1칸이니 평행하고 길이가 같습니다. (1,2)에서 (2,2)로 가는 변과 (3,1)에서 (4,1)로 가는 변은 둘 다 오른쪽 1칸이니 역시 평행하고 길이가 같습니다. 틀림없는 평행사변형이고, 1칸짜리 변은 비스듬한 변보다 눈에 띄게 짧으니 마름모도 아닙니다. 여섯 그림의 모든 꼭짓점이 왼쪽에서 1부터 5 사이, 위에서 1부터 4 사이에 있으므로 여섯 개 모두 점판 안에 들어갑니다.
핵심 정리
다음 변을 '오른쪽으로 몇 칸, 아래로 몇 칸'으로 말해 보세요. 그 순간 그림 찾기가 끝까지 다 적을 수 있는 짧은 목록으로 바뀐답니다.
- 이동 하나가 평행사변형 전체를 정한다는 것 알기
- 점판 가장자리로 대부분의 이동 지우기
- 후보 8가지를 적고 그려 보기
- 8가지 가운데 마름모 찾아내기
- 남은 것을 세고 그리기
이어서 풀어볼까요