문제
직선과 각도
직선 네 개가 그려져 있습니다. 어느 두 직선도 평행하지 않습니다. 세 직선이 한 점에서 만나는 곳도 없습니다. 그림에 생기는 예각의 개수를 구합니다.
사고력 · 초4-1 삼각형과 각도
내 답
조심 교점마다 각이 넷이라 넷 다 세고 싶지만, 마주 보지 않는 짝은 합이 180도라 예각은 둘뿐입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 각은 직선이 만나는 곳에만 생긴다. 그래서 먼저 그림에 교점을 하나하나 표시하고 그 개수를 센다. 그다음에는 교점 하나만 크게 들여다보며 거기에 예각이 몇 개 들어 있는지 따진다. 이 그림의 교점은 모두 두 직선이 엇갈려 만나는 똑같은 모양이므로, 교점 하나에서 얻은 결과가 나머지 교점에서도 그대로 되풀이된다. 그러면 마지막은 곱셈 한 번으로 끝난다.
1STEP 1
교점을 찾아 개수 세기
직선 넷이 서로 만나 교점이 6개 생깁니다.
6 개의 교점
직선의 짝을 순서대로 적어 나가면 교점을 빠뜨리지도 않고 같은 것을 두 번 세지도 않는다.
4.G.A.1Make A Systematic List2STEP 2
교점 하나만 크게 들여다보기
교점 하나에는 각이 4개 생깁니다.
360°
각은 반직선 두 개가 한 점을 함께 쓸 때 생긴다. 그래서 반직선 네 개를 그려 보면 교점마다 따져 볼 각이 네 개라는 사실이 바로 보인다.
4.MD.C.5Draw A Diagram3STEP 3
네 각을 둘씩 짝지어 보기
이웃한 두 각의 합은 늘 180도입니다.
a + b = 180°
직선 위에서 180°가 된다는 사실과 맞꼭지각이 같다는 사실을 함께 쓰면, 교점마다 각 하나만 판단하면 된다. 나머지 셋은 저절로 따라온다.
7.G.B.5Draw A Diagram교차점에서 네 각은 짝을 이루므로, 그중 하나만 판단하면 나머지 셋이 함께 정해진다.
왜?
한 직선을 따라 나란히 놓인 두 각은 언제나 그 사이에 180도를 채운다.
🧱평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
왜?
각의 크기는 더해지므로, 한 각과 평각의 합을 알면 뺄셈 한 번으로 이웃한 각이 나온다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
4STEP 4
네 각 중 예각이 몇 개인지 정하기
그래서 네 각 중 예각은 2개입니다.
a ＜ 90° → b = 180° - a ＞ 90°
합이 180인 두 수가 둘 다 90보다 작을 수는 없다. 그래서 뾰족한 각과 벌어진 각은 언제나 짝을 이루어 나타난다.
7.G.B.5Look For A Pattern5STEP 5
교점이 모두 같은 모양이므로 곱하기
교점마다 같으므로 6 × 2 = 12개입니다.
6 × 2 = 12
예각이 2개씩 든 교점이 6군데라는 말은 곧 2개짜리 묶음이 6묶음이라는 뜻이고, 그것이 바로 곱셈이 세어 주는 것이다.
3.OA.A.1Look For A Pattern정답
12 개
6 × 2 = 12
교점이 6개이고 교점마다 각이 4개이므로 그림 속 각은 모두 24개다. 그중 절반이 예각, 절반이 둔각이므로 12개와 12개로 나뉘고 합하면 다시 24가 된다. 답은 자연수이고 전체 각의 개수보다 작으며 짝수인데, 예각은 맞꼭지각끼리 짝을 이루어 나오므로 짝수인 것이 마땅하다. 그림에서 눈으로 확인해도 맞는다. 가로 직선과 기울어진 두 직선이 만드는 큰 삼각형의 세 꼭짓점은 모두 뾰족한 각이고, 이 셋도 12개 안에 들어 있다.
핵심 정리
두 직선이 엇갈려 만나는 곳에는 언제나 뾰족한 각 둘, 벌어진 각 둘이 생깁니다. 그러니 만나는 점의 수만 세어 두 배 하면 됩니다.
- 교점을 찾아 개수 세기
- 교점 하나만 크게 들여다보기
- 네 각을 둘씩 짝지어 보기
- 네 각 중 예각이 몇 개인지 정하기
- 교점이 모두 같은 모양이므로 곱하기