문제
분류하여 도형의 개수 세기
네 칸을 옆으로 이어 붙인 띠 모양 도형이 있습니다. 안에 비스듬한 선분 네 개가 위 변에서 아래 변까지 그어져 있습니다. 선분은 저마다 자기 칸을 벗어나지 않습니다. 마름모, 직사각형, 평행사변형, 사다리꼴의 개수를 각각 구합니다.
사고력 · 초4-2 크고 작은 도형의 개수
내 답
조심 종류를 따로 세고 싶지만 직사각형과 마름모도 평행사변형에 들어갑니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 눈에 띄는 도형부터 아무렇게나 찾아 세면 반드시 빠뜨리거나 두 번 셉니다. 다행히 이 그림에는 아주 고마운 성질이 하나 있습니다. 띠 안에 그어진 선은 예외 없이 위쪽 가로 변에서 아래쪽 가로 변까지 끝까지 내려온다는 점입니다. 그러면 그림 속의 사각형은 그런 선 두 개를 고르는 순간 정해지므로, 도형을 세는 대신 선의 짝을 나열하면 됩니다. 짝을 나열하는 일은 쉽고 빠짐이 없습니다. 그다음에는 고른 두 선이 어떤 모양인지에 따라 목록을 갈래로 나누고, 마지막 갈래는 다시 세는 대신 빼기로 구합니다.
1STEP 1
모든 사각형은 위아래를 잇는 선 두 개로 정해진다
사각형 하나는 위아래를 잇는 선 두 개로 정해집니다.
보이는 도형을 찾는 대신 도형을 만드는 두 '벽'을 찾는 것입니다. 도형보다 벽이 훨씬 세기 쉽습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram띠 안의 모든 사각형은 비스듬한 선 가운데 어느 둘이 왼쪽과 오른쪽 벽이 되는지로 정해진다.
왜?
띠가 위아래 변을 거저 주므로, 벽 한 쌍이 사각형 하나를 가리키고 사각형 하나는 벽 한 쌍을 가진다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
따라서 도형을 세는 일은 선 두 개를 고르는 방법을 세는 일이 되며, 그림은 전혀 필요하지 않다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
2STEP 2
선의 짝을 세어 사각형 전체 개수 구하기
선의 짝을 모두 세면 사각형은 36개입니다.
8+7+6+5+4+3+2+1 = 36
'몇 쌍이 나오는가'를 셀 때 쓰는 악수 세기와 똑같습니다. 각 선마다 자기 오른쪽에 있는 짝만 세면 같은 짝을 두 번 세지 않습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List3STEP 3
직사각형: 두 벽이 모두 세로선일 때
두 벽이 모두 세로선이면 직사각형이라 10개입니다.
4+3+2+1 = 10
다섯 개의 세로선 중 두 개를 고르는 일이니, 앞에서 한 짝 세기를 더 작은 모둠에서 한 번 더 하는 것뿐입니다.
4.G.A.2Make A Systematic List4STEP 4
마름모: 가로 길이가 띠의 높이와 같은 직사각형
그중 가로가 높이와 같은 마름모는 3개입니다.
1 + 2 = 3
정사각형은 네 변이 모두 같으니 마름모 자리에도 들어갑니다. 이름끼리 일부러 겹치게 되어 있는데, 정사각형을 빠뜨리는 것이 이 문제에서 가장 흔한 실수입니다.
5.G.B.3Make A Systematic List5STEP 5
평행사변형: 두 벽이 서로 평행할 때
두 벽이 평행한 평행사변형은 12개입니다.
10 + 1 + 1 = 12
직사각형은 모두 평행사변형이기도 하므로 10개는 이미 이 안에 들어 있습니다. 새로 늘어나는 것은 정말로 비스듬한 두 개뿐입니다.
4.G.A.2Make A Systematic List6STEP 6
평행사변형이 아닌 사다리꼴: 빼서 구하기
빼면 사다리꼴은 24개입니다.
36 - 12 = 24
기울어진 사각형 24개를 하나씩 찾아다니는 것보다, 이미 구해 놓은 수에서 남는 것을 세는 편이 훨씬 안전합니다.
5.G.B.4Change Focus Count The Complement정답
3, 10, 12, 24 개
36 − 12 = 24
이름끼리 포함 관계가 있으니 개수도 그 관계를 지켜야 합니다. 마름모와 직사각형은 모두 평행사변형이기도 하므로 3과 10은 12보다 클 수 없는데, 실제로 그렇습니다. 또 평행사변형 12개와 평행사변형이 아닌 사다리꼴 24개를 합하면 그림 속 사각형 전체가 되어야 하는데 12 + 24 = 36으로 짝 세기 결과와 정확히 맞습니다. 마지막으로 마름모 3개는 띠를 이루는 정사각형 세 칸 그 자체여서 그림에서 한눈에 확인됩니다.
핵심 정리
도형을 세지 말고 도형을 만드는 선의 짝을 세어 보세요. 그리고 정사각형은 한꺼번에 세 가지 이름으로 불린다는 것을 잊지 마세요.
- 모든 사각형은 위아래를 잇는 선 두 개로 정해진다
- 선의 짝을 세어 사각형 전체 개수 구하기
- 직사각형: 두 벽이 모두 세로선일 때
- 마름모: 가로 길이가 띠의 높이와 같은 직사각형
- 평행사변형: 두 벽이 서로 평행할 때
- 평행사변형이 아닌 사다리꼴: 빼서 구하기