문제
조건이 있는 도형의 개수 세기
(1)은 직사각형을 세로줄 4개, 가로줄 5개로 나눈 격자입니다. ★은 왼쪽에서 둘째 세로줄, 위에서 넷째 가로줄 칸에 있습니다. (2)는 마름모를 한 방향 띠 5개, 다른 방향 띠 4개로 나눈 격자이고, ★은 셋째 띠와 둘째 띠가 만나는 칸에 있습니다. ★이 든 사각형이 몇 개인지 각각 구합니다.
사고력 · 초4-2 크고 작은 도형의 개수
내 답
조심 두 방향의 가짓수를 더하고 싶지만 하나씩 자유롭게 짝지어지므로 곱해야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 사각형을 눈에 보이는 대로 하나씩 찾다 보면 두 번 세거나 빠뜨리기 쉽습니다. 그런데 여기서 사각형 하나는 서로 다른 두 가지 선택으로 완전히 정해집니다. 왼쪽 변과 오른쪽 변이 될 선 두 개를 고르는 일, 그리고 위쪽 변과 아래쪽 변이 될 선 두 개를 고르는 일입니다. 그러면 문제가 한 줄짜리 작은 문제 두 개로 쪼개지고, 각각은 소리 내어 다 셀 수 있을 만큼 작습니다. 두 개수를 곱하면 전체가 나오고, 그림을 비스듬히 눕혀도 선이 만나는 방식은 그대로이므로 (2)에도 똑같은 방법이 그대로 옮겨 갑니다.
1STEP 1
사각형 하나는 양쪽 방향에서 선 두 개씩을 고르는 일임을 알아보기
사각형 하나는 양쪽 방향의 선 두 개씩입니다.
그림 속에서 점과 직선, 선분을 알아보는 것은 4학년이면 이미 하는 일입니다. 그림을 선의 모임으로 보는 순간 세기가 짐작이 아니게 됩니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
(1) ★이 있는 가로줄에서만 세기
(1)의 가로 방향은 6가지입니다.
1 + 2 + 2 + 1 = 6 (또는 2 × 3 = 6)
칸 4개짜리 한 줄은 빠짐없이 다 적어 볼 수 있을 만큼 작으니, 이 개수는 어림이 아니라 확실한 값입니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
(1) ★이 있는 세로줄에서만 세기
(1)의 세로 방향은 8가지입니다.
1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8 (또는 4 × 2 = 8)
세로줄에서 묶음을 세는 일은 가로줄에서 한 일과 똑같고, 칸이 4개가 아니라 5개일 뿐입니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem4STEP 4
(1) 가로 선택과 세로 선택을 하나씩 짝짓기
곱하면 (1)은 48개입니다.
6 × 8 = 48
3학년이면 곱셈을 "몇 개씩 몇 묶음"으로 읽습니다. 한쪽 선택에 다른 쪽 선택을 하나씩 붙이는 일이 바로 그것입니다.
3.OA.A.1Identify Subproblems허용된 가로 선택 하나하나를 허용된 세로 선택 하나하나와 짝지으면 별을 품는 모든 직사각형이 세어진다.
왜?
직사각형이 옆으로 얼마나 뻗는지가 위아래로 얼마나 뻗는지를 제한하지 않으므로, 두 선택은 서로 자유롭다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
왜?
직사각형은 정확히 한 쌍의 가로선과 한 쌍의 세로선으로 이름 붙으므로, 어떤 직사각형도 두 번 세어지지 않는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
5STEP 5
(2) 비스듬히 눕혔을 뿐 똑같은 격자임을 알아보기
(2)는 같은 격자를 눕힌 것뿐입니다.
평행한 두 무리의 선을 알아보는 것은 4학년의 기능이고, 그것이 바로 비스듬한 그림도 반듯한 그림과 같은 규칙을 따른다는 것을 알려 줍니다.
4.G.A.2Draw A Diagram6STEP 6
(2) 두 방향에서 각각 세어 곱하기
같은 방법으로 (2)는 54개입니다.
9 × 6 = 54
"몇 개씩 몇 묶음"이라는 생각은 조각의 모양이 어떻든 그대로 통합니다. 세고 있는 것은 결국 선뿐이기 때문입니다.
3.OA.A.1Identify Subproblems정답
48, 54 개
6 × 8 = 48, 9 × 6 = 54
두 그림에 들어 있는 사각형의 전체 개수는 사실 같습니다. (1)은 세로선 5개에서 2개를 고르는 10가지에 가로선 6개에서 2개를 고르는 15가지를 곱해 150개이고, (2)는 15 × 10으로 역시 150개입니다. 그러니 48과 54는 각각 전체의 삼분의 일쯤인데, 한가운데는 아니지만 가운데에서 그리 멀지 않은 칸이라면 딱 그 정도가 맞습니다. 54가 48보다 큰 것도 자연스럽습니다. (2)의 ★이 자기 격자의 중심에 더 가깝게 놓여 있고, 가운데에 가까운 칸일수록 더 많은 사각형에 갇히기 때문입니다. 끝으로 두 답 모두 개수이므로 자연수여야 하고, 어느 쪽도 150을 넘을 수 없는데 실제로 그렇습니다.
핵심 정리
사각형 하나는 '좌우로 어디까지'와 '위아래로 어디까지'라는 두 가지 선택일 뿐이에요. 각각 따로 세어서 곱하면 됩니다.
- 사각형 하나는 양쪽 방향에서 선 두 개씩을 고르는 일임을 알아보기
- (1) ★이 있는 가로줄에서만 세기
- (1) ★이 있는 세로줄에서만 세기
- (1) 가로 선택과 세로 선택을 하나씩 짝짓기
- (2) 비스듬히 눕혔을 뿐 똑같은 격자임을 알아보기
- (2) 두 방향에서 각각 세어 곱하기