문제
규칙 찾아 도형의 개수 세기
큰 정사각형이 6칸씩 나뉘어 작은 정사각형 36개짜리 모눈이 되었습니다. 한 변이 1칸인 것부터 6칸인 것까지 모두 정사각형으로 셉니다. 가장 큰 것은 모눈 전체입니다. 숨어 있는 정사각형을 모두 셉니다.
사고력 · 초4-2 크고 작은 도형의 개수
내 답
조심 겹치지 않게만 세기 쉽지만 큰 정사각형은 서로 겹쳐도 따로 셉니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 눈에 보이는 대로 하나씩 짚어 가며 세는 방법은 여기서 통하지 않는다. 정사각형이 수십 개인 데다 서로 겹쳐 있어서 두 번 세거나 아예 빠뜨리기 딱 좋다. 그래서 먼저 크기별로 나눈다. 1칸짜리를 모두 세고, 다음에 2칸짜리를 모두 세는 식이다. 같은 크기끼리 모아 놓으면 세기가 쉬워진다. 그 크기의 정사각형은 왼쪽 위 꼭짓점이 어디에 놓이는지로 완전히 정해지기 때문이다. 세는 규칙은 작은 2×2 모눈에서 먼저 확인하고, 그 규칙을 실제 모눈의 여섯 가지 크기에 그대로 쓰면 된다.
1STEP 1
먼저 한 변의 길이로 나누기
정사각형을 한 변의 길이로 나누어 셉니다.
한 변 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 칸
먼저 나누어 놓는 것이 중복해서 세는 실수를 막는 가장 확실한 방법이다. 정사각형마다 들어갈 칸이 딱 하나씩 정해지면 무리별 개수를 더해도 절대 넘치지 않는다.
4.OA.C.5Make A Systematic List2STEP 2
작은 모눈에서 세는 규칙 찾기
작은 모눈에서 9, 4, 1이라는 규칙이 보입니다.
3×3=9, 2×2=4, 1×1=1
3×3 모눈은 눈으로 직접 확인할 수 있을 만큼 작다. 그러니 거기서 찾은 규칙은 짐작이 아니라 스스로 확인해 본 사실이다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem3STEP 3
규칙이 왜 맞는지 보기: 왼쪽 위 꼭짓점을 밀어 보기
왼쪽 위 꼭짓점이 놓일 자리를 세면 됩니다.
(한 변이 k 칸인 정사각형의 개수) = (7-k)×(7-k)
자리의 수를 '가로 몇 곱하기 세로 몇'으로 세는 것은 3학년에서 배운 곱셈의 배열 그림 그대로다. 가로로 고른 자리마다 세로로 고른 자리를 짝지을 수 있다.
3.OA.A.1Draw A Diagram정해진 크기의 정사각형은 왼쪽 위 꼭짓점이 어디 있는지로 정해지므로, 허용된 꼭짓점 자리를 세면 정사각형이 세어진다.
왜?
정사각형을 새 꼭짓점 자리로 밀어도 변의 길이가 그대로이므로, 모든 자리가 같은 크기의 진짜 정사각형을 준다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
꼭짓점이 옆으로 얼마나 밀릴 수 있는지는 아래로 얼마나 밀릴 수 있는지와 무관하므로, 두 개수는 곱해진다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
4STEP 4
6×6 모눈에서 크기별로 세기
크기별로 36, 25, 16, 9, 4, 1개입니다.
36, 25, 16, 9, 4, 1
정사각형이 커질수록 밀 수 있는 여유가 줄어드니 개수도 줄어들 수밖에 없다. 그것도 제곱수를 따라 줄어드는데, 이는 작은 모눈에서 이미 확인한 그 규칙이다.
4.OA.C.5Look For A Pattern5STEP 5
여섯 개의 수 더하기
모두 더하면 91개입니다.
36+25+16+9+4+1=91
두 자리 수 여섯 개를 짝지어 더하는 일은 짧고 확인하기도 쉽다. 순서를 바꾸어 다시 짝지어 더해 보면 곧바로 검산이 된다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List정답
91 개
36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91
91은 개수이므로 자연수여야 하고, 가장 작은 칸 36개는 답의 일부일 뿐이므로 36보다 커야 한다. 둘 다 맞는다. 또 이 그림에서 찾을 수 있는 직사각형의 개수보다는 훨씬 적어야 한다. 정사각형은 모두 직사각형이지만 직사각형 대부분은 정사각형이 아니기 때문이다. 작은 모눈으로 방법 자체를 검산해 보면, 1×1 모눈은 1개, 2×2 모눈은 4+1=5개, 3×3 모눈은 9+4+1=14개가 나오는데 셋 다 눈으로 확인할 수 있고 모두 맞는다. 여섯 개의 수를 거꾸로 1+4+9+16+25+36으로 더해도 다시 91이다.
핵심 정리
눈으로 찾지 말고 크기별로 세어 보세요. 크기마다 놓을 수 있는 자리가 반듯한 직사각형으로 늘어서니, 합계는 6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1이면 끝이에요.
- 먼저 한 변의 길이로 나누기
- 작은 모눈에서 세는 규칙 찾기
- 규칙이 왜 맞는지 보기: 왼쪽 위 꼭짓점을 밀어 보기
- 6×6 모눈에서 크기별로 세기
- 여섯 개의 수 더하기