문제
원과 평면 위에 있는 삼각형의 개수
원 세 개에 점이 일정한 간격으로 찍혀 있습니다. 점의 개수는 차례로 4개, 5개, 6개입니다. 두 점을 이어 선분을 긋습니다. 원마다 그을 수 있는 선분의 개수를 구합니다.
사고력 · 초4-2 점을 이어 만든 도형의 개수
내 답
조심 점마다 세 개씩이라 4 × 3이라고 하기 쉽지만 한 선분을 두 번 세게 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 점이 4개뿐일 때는 선분을 하나도 빠뜨리지 않고 다 적어 셀 수 있습니다. 그렇게 얻은 답은 나머지를 확인하는 잣대가 됩니다. 둘레를 따라 점에 번호를 붙여 두면 그 목록이 흐트러지지 않아 빠뜨리거나 겹쳐 세는 일이 없습니다. 그다음 같은 그림을 점마다 하나씩 세는 방식으로 다시 보면, 곱한 뒤 2로 나누는 지름길이 드러납니다. 이 지름길이 만들어 내는 규칙으로 점이 5개, 6개인 경우를 빠르게 처리하고, 세 답이 서로 아귀가 맞는지도 확인합니다.
1STEP 1
점에 번호를 붙여 놓치는 것이 없게 하기
점에 번호를 붙여 두면 빠뜨리지 않습니다.
점 1, 2, 3, 4
선분마다 이름을 하나로 정해 두는 것이 1-3과 3-1을 다른 선분으로 세는 실수를 막아 줍니다. 이 문제는 바로 그 실수를 잡아내려고 만든 문제입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
점이 4개일 때 선분 모두 적어 보기
점 4개는 3 + 2 + 1 = 6개입니다.
3 + 2 + 1 = 6
시작하는 점을 차례대로 훑으면서 자기보다 뒤에 있는 점하고만 잇도록 정해 두면, 모든 선분이 꼭 한 번씩만 적힙니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List3STEP 3
같은 개수를 곱한 뒤 2로 나누어 구하기
4 × 3을 반으로 나누어도 6개입니다.
4 × 3 = 12, 12 ÷ 2 = 6
선분에는 끝이 둘이므로 점마다 세면 무엇이든 꼭 두 번씩 세어집니다. 2로 나누는 것이 그것을 되돌리는 깔끔한 방법이고, 점이 몇 개든 똑같이 통합니다.
3.OA.A.3Look For A Pattern모든 점에서 현을 세면 각 현이 두 번 세어지므로, 곱한 뒤 반으로 나누면 참된 개수가 나온다.
왜?
현에는 끝이 둘 있고 그 각각에서 한 번씩 세어지므로, 모든 점을 훑으면 정확히 두 배가 나온다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
각 점은 다른 모든 점과 이어질 수 있고 금지된 것이 없으므로, 두 배가 된 총합은 한 개수에 다른 개수를 곱한 것이다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
4STEP 4
점이 5개인 원에 지름길 쓰기
점 5개는 10개입니다.
5 × 4 ÷ 2 = 10 그리고 4+3+2+1 = 10
겹치는 과정이 하나도 없는 두 방법이 똑같이 10을 가리킨다면 그 수는 믿을 만합니다. 별 모양 그림 덕분에 변 다섯과 대각선 다섯도 눈으로 바로 보입니다.
3.OA.A.3Look For A Pattern5STEP 5
점이 6개인 원에 지름길 쓰기
점 6개는 15개입니다.
6 × 5 ÷ 2 = 15 그리고 5+4+3+2+1 = 15
15개를 변과 짧은 대각선과 긴 대각선으로 갈라 세는 것은 앞의 두 방법과 또 다른 세 번째 방법인데, 그림에 보이는 것만으로 셀 수 있습니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
세 답이 서로 아귀가 맞는지 확인하기
점이 하나 늘 때마다 그만큼 더 늘어 맞습니다.
6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15
수만 보고 눈치챈 규칙이 아니라 새로 찍은 점이 실제로 하는 일로 설명되는 규칙이라면, 믿고 써도 됩니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
6, 10, 15 개
4 × 3 ÷ 2 = 6, 5 × 4 ÷ 2 = 10, 6 × 5 ÷ 2 = 15
둘레를 따라 이웃한 점을 잇는 선분만 해도 각각 4개, 5개, 6개이므로, 답은 적어도 점의 개수보다는 커야 합니다. 6, 10, 15는 모두 이 조건을 넘어섭니다. 또 점 하나가 늘 때마다 선분이 여러 개씩 늘어나니 점의 개수보다 빠르게 커져야 하는데, 6에서 10, 10에서 15로 뛰는 폭이 실제로 그렇습니다. 점이 4개인 경우는 그림에서 바로 셀 수도 있습니다. 변 4개에 대각선 2개를 더하면 6이니 가장 작은 경우는 눈으로 확인이 끝납니다. 세 답은 모두 선분의 개수이므로 단위가 없는 자연수여야 하고, 실제로 그렇습니다.
핵심 정리
점마다 뻗어 나가는 선분을 센 다음 2로 나누세요. 선분은 두 끝에서 한 번씩, 모두 두 번 세어지기 때문입니다.
- 점에 번호를 붙여 놓치는 것이 없게 하기
- 점이 4개일 때 선분 모두 적어 보기
- 같은 개수를 곱한 뒤 2로 나누어 구하기
- 점이 5개인 원에 지름길 쓰기
- 점이 6개인 원에 지름길 쓰기
- 세 답이 서로 아귀가 맞는지 확인하기
이어서 풀어볼까요