문제
도형 겹치기
크기가 똑같은 정사각형 2개를 겹쳐 놓습니다. 두 정사각형이 함께 덮은 부분만 색칠합니다. 겹쳐진 부분이 삼각형, 사각형, 오각형인 세 경우가 주어집니다. 각 경우가 되도록 놓는 방법을 구합니다.
사고력 · 초4-2 도형 퍼즐
내 답
조심 겹친 부분은 늘 사각형일 것 같지만 안에 든 꼭짓점 수에 따라 삼각형도 오각형도 됩니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 겹쳐진 부분의 변이 몇 개가 되는지를 무엇이 결정하는지 알아내려면, 똑같은 종이 정사각형 2개를 오려서 하나를 다른 하나 위로 밀어 보는 것이 가장 빠릅니다. 책의 도움말대로 하나는 가만히 두고 다른 하나만 움직이면서, 꼭짓점이 몇 개나 안으로 들어갔는지, 변이 몇 군데에서 서로 지나가는지를 보면 됩니다. 이 실험에서 겹쳐진 부분의 변의 수를 세는 규칙이 나옵니다. 그다음에는 주어진 모양에서 거꾸로 되짚어 갑니다. 모양의 꼭짓점을 보면 꼭짓점 몇 개가 안에 들어가야 하고 변이 몇 군데에서 지나가야 하는지 알 수 있으니, 마지막에 그 모습을 그리고 확인하면 됩니다.
1STEP 1
똑같은 정사각형 2개를 오려 겹쳐진 부분의 꼭짓점이 어떻게 생기는지 보기
겹친 부분의 꼭짓점은 안에 든 꼭짓점과 변이 만난 자리입니다.
(겹쳐진 부분의 변의 수) = (안으로 들어간 꼭짓점 수) + (두 변이 지나가는 자리의 수)
겹쳐진 부분의 테두리는 두 정사각형이 원래 가지고 있던 변으로만 만들어집니다. 그러니 방향이 꺾이는 곳은 변이 끝나는 자리, 곧 정사각형의 꼭짓점이거나 두 변이 서로 가로지르는 자리뿐입니다.
4.G.A.1Create A Physical Representation2STEP 2
삼각형에서 거꾸로 되짚기: 꼭짓점 3개는 안에 들어간 꼭짓점 1개와 지나가는 자리 2군데
삼각형은 안에 든 꼭짓점이 1개일 때입니다.
1 + 2 = 3
그림을 거꾸로 읽어 보면, 비스듬한 두 변이 만나 생긴 뾰족한 점은 정사각형의 꼭짓점일 수밖에 없고, 그 꼭짓점을 평평하게 잘라 낸 밑변은 다른 정사각형의 변일 수밖에 없습니다.
3.G.A.1Work Backwards삼각형 모양의 겹침에는 꼭짓점이 정확히 셋 필요하며, 한 정사각형의 꼭짓점 하나가 안에 들어가고 변이 두 번 교차해 만들어진다.
왜?
겹침의 모든 꼭짓점은 한 정사각형의 꼭짓점이 다른 정사각형 안에 놓인 것이거나, 두 변이 만나는 점이다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
두 종류의 꼭짓점은 서로 겹치지 않고 그 밖의 것은 꼭짓점을 만들 수 없으므로, 개수를 더하면 변의 수가 된다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
3STEP 3
삼각형이 되게 놓은 모습 그리기
한 정사각형의 모서리만 살짝 걸치게 놓습니다.
기울어진 정사각형을 꼭짓점 하나만 남을 때까지 밀어 내리면 겹치는 부분이 가장 작아집니다. 그리고 꼭짓점 하나만 들어와 있을 때 만들어지는 모양은 삼각형밖에 없습니다.
4.G.A.2Draw A Diagram4STEP 4
사각형에서 거꾸로 되짚기: 각 정사각형에서 꼭짓점 1개씩과 지나가는 자리 2군데
사각형은 각 정사각형에서 1개씩 들어갈 때입니다.
1 + 1 + 2 = 4
변이 4개인데 정사각형마다 변을 2개씩 내놓았다면, 두 정사각형이 서로에게 꼭짓점을 하나씩 들이밀고 있어야 합니다. 그러려면 두 정사각형이 대각선 방향으로 어긋나 있어야 합니다.
3.G.A.1Work Backwards5STEP 5
사각형이 되게 놓은 모습 그리기
두 정사각형을 어슷하게 포개어 놓습니다.
두 정사각형을 대각선 방향으로 모서리끼리 물리게 겹치면 언제나 서로의 꼭짓점이 하나씩 상대 안에 들어갑니다. 그것이 가장 흔한 사각형 겹침입니다.
4.G.A.2Draw A Diagram6STEP 6
오각형에서 거꾸로 되짚기: 한쪽 꼭짓점 2개, 다른 쪽 꼭짓점 1개, 지나가는 자리 2군데
오각형은 안에 든 꼭짓점이 모두 3개일 때입니다.
2 + 1 + 2 = 5
잘리지 않은 변 하나가 통째로 보인다는 것은 아주 강한 단서입니다. 다른 정사각형이 그 변을 통째로 삼켰다는 뜻이고, 그러면 그 변의 양 끝 꼭짓점 2개가 안에 숨어 있다는 말이 됩니다.
3.G.A.1Work Backwards7STEP 7
오각형이 되게 놓은 모습 그리기
한쪽 꼭짓점 둘이 들어가도록 깊이 겹칩니다.
한 정사각형이 다른 정사각형의 변 하나를 통째로 삼키면 그 변은 겹쳐진 부분에 그대로 남습니다. 거기에 왼쪽에서 꼭짓점 하나가 들어오면서 꺾인 곳이 하나 더 생겨 변이 4개에서 5개로 늘어납니다.
4.G.A.2Draw A Diagram8STEP 8
그린 것을 모두 확인하기
세 그림이 모두 조건과 맞습니다.
색칠한 부분의 변을 세는 것이 문제의 전부이니, 마지막에 한 번 더 세어 보는 것이 가장 자연스러운 확인입니다.
4.G.A.2Create A Physical Representation정답
안에 든 꼭짓점 1개, 2개, 3개
1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 3 + 2 = 5
변의 수를 세는 규칙이 그린 것마다 딱 들어맞습니다. 안으로 들어간 꼭짓점 1개 + 지나가는 자리 2군데 = 변 3개, 꼭짓점 1개씩 둘 + 지나가는 자리 2군데 = 변 4개, 꼭짓점 2개와 1개 + 지나가는 자리 2군데 = 변 5개입니다. 종이로 확인할 수 있는 양쪽 끝의 경우와도 맞습니다. 한 정사각형을 다른 정사각형 위에 딱 포개면 겹쳐진 부분은 정사각형 자신이라 변이 4개이고, 가운데는 그대로 둔 채 한쪽만 마름모처럼 돌려 놓으면 안으로 들어간 꼭짓점은 하나도 없고 변이 8군데에서 지나가므로 팔각형이 됩니다. 그러니 정사각형 2개의 겹쳐진 부분은 늘 변이 3개에서 8개 사이이고, 3·4·5는 그 안에 넉넉히 들어옵니다. 그린 겹침은 모두 파인 곳이 없고 넓이도 정사각형 하나보다 작으니, 마땅히 그래야 할 대로입니다.
핵심 정리
겹쳐진 부분의 꼭짓점은 안으로 슬쩍 들어간 꼭짓점이거나 두 변이 서로 지나가는 자리, 둘 중 하나예요. 그 개수만 세면 겹침이 몇 각형이 될지 미리 알 수 있답니다.
- 똑같은 정사각형 2개를 오려 겹쳐진 부분의 꼭짓점이 어떻게 생기는지 보기
- 삼각형에서 거꾸로 되짚기: 꼭짓점 3개는 안에 들어간 꼭짓점 1개와 지나가는 자리 2군데
- 삼각형이 되게 놓은 모습 그리기
- 사각형에서 거꾸로 되짚기: 각 정사각형에서 꼭짓점 1개씩과 지나가는 자리 2군데
- 사각형이 되게 놓은 모습 그리기
- 오각형에서 거꾸로 되짚기: 한쪽 꼭짓점 2개, 다른 쪽 꼭짓점 1개, 지나가는 자리 2군데
- 오각형이 되게 놓은 모습 그리기
- 그린 것을 모두 확인하기
이어서 풀어볼까요