문제
대칭수
대칭수는 순서대로 읽어도 거꾸로 읽어도 똑같은 수입니다. 10부터 999까지의 수만 봅니다. 두 자리와 세 자리를 따로 세어도 됩니다. 이 범위의 대칭수가 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초4-1 여러 가지 수 만들기
내 답
조심 첫 숫자도 열 가지라고 세기 쉽지만 0으로 시작할 수 없어 아홉 가지입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 990개나 되는 수를 하나하나 적어 볼 수는 없다. 그런데 이 범위는 두 자리 수와 세 자리 수로 깔끔하게 갈라진다. 그리고 각 무리 안에서는 대칭수의 생김새가 정해져 있어서, 수를 나열하는 대신 자유롭게 고를 수 있는 숫자만 세고 곱하면 된다. 두 자리 수 쪽은 개수가 적어 통째로 적어 볼 수 있는데, 그렇게 적어 보면 세 자리 수 쪽에서 쓸 규칙도 눈에 들어온다.
1STEP 1
범위를 두 개의 작은 문제로 쪼개기
범위를 두 자리와 세 자리로 쪼갭니다.
자리 수가 다르면 거꾸로 뒤집었을 때 움직이는 방식도 달라진다. 자리 수로 갈라 놓으면 지저분한 문제 하나가 깔끔한 문제 둘로 바뀐다.
4.NBT.A.2Identify Subproblems2STEP 2
두 자리 대칭수를 모두 적어 보기
두 자리는 11부터 99까지 9개입니다.
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
9개쯤은 끝까지 적어 볼 수 있는 양이다. 그래서 빠뜨리거나 겹쳐 셀 걱정이 없다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List3STEP 3
세 자리 대칭수의 생김새 알아내기
세 자리는 앞과 뒤가 같은 꼴이라 두 숫자만 고릅니다.
aba
앞의 두 숫자만 마음대로 고를 수 있고 마지막 숫자는 저절로 정해진다. 이걸 알고 나면 나열하지 않아도 규칙이 대신 일해 준다.
4.NBT.A.2Look For A Pattern4STEP 4
고를 수 있는 경우를 세어 세 자리 대칭수 개수 구하기
9 × 10 = 90개가 세 자리 대칭수입니다.
9 × 10 = 90
10개씩 9줄을 세는 일이 바로 곱셈이다. 90개를 적어 보는 대신 묶음 그림 하나로 끝난다.
3.OA.A.1Make A Systematic List세 자리 대칭수는 앞의 두 자리로 정해지므로, 첫 자리 아홉 가지와 둘째 자리 열 가지가 아흔 개를 만든다.
왜?
첫 자리는 0일 수 없지만 가운데 자리는 무엇이든 될 수 있고, 어느 선택도 다른 선택을 제한하지 않는다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
왜?
열 개씩 아홉 줄은 열이 든 같은 묶음 아홉 개이며 그것이 바로 곱셈이 세는 것이므로, 아흔 개를 적을 필요가 없다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
5STEP 5
두 개수를 더하기
더하면 9 + 90 = 99개입니다.
9 + 90 = 99
두 무리가 겹치지 않기 때문에 덧셈만으로 제대로 합쳐진다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems정답
99 개
9 + 9 × 10 = 99
답은 수의 개수이므로 자연수여야 하고, 범위 안의 수 990개보다 클 수 없는데 99는 넉넉히 작다. 다르게도 확인해 보자. 100부터 199까지 백 개 중 대칭수는 101, 111, 121, …, 191로 10개다. 200대도, 300대도, 900대까지 모두 똑같이 10개씩이니 90개다. 여기에 두 자리 대칭수 9개를 더하면 99개로 앞의 답과 맞아떨어진다.
핵심 정리
대칭수는 뒤쪽 절반이 앞쪽 절반을 그대로 베낀 수예요. 그래서 앞쪽을 고르는 경우만 세면 되고, 그 정도는 묶어서 셀 만큼 적습니다.
- 범위를 두 개의 작은 문제로 쪼개기
- 두 자리 대칭수를 모두 적어 보기
- 세 자리 대칭수의 생김새 알아내기
- 고를 수 있는 경우를 세어 세 자리 대칭수 개수 구하기
- 두 개수를 더하기
이어서 풀어볼까요