문제
어떤 숫자가 들어있는 수
1부터 99까지의 자연수를 빠짐없이 죽 써 나갑니다. 0부터 9까지 각 숫자를 몇 번 쓰는지 표에 채웁니다. 그 숫자가 들어 있는 수의 개수가 아니라 쓴 횟수를 셉니다. 열 숫자의 횟수를 각각 구합니다.
사고력 · 초4-1 수와 숫자의 개수
내 답
조심 열 숫자가 모두 20번씩일 것 같지만 0은 십의 자리에 올 수 없어 9번뿐입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 99개의 수를 다 써 놓고 하나하나 표시해 가며 세면 시간도 오래 걸리고 빠뜨리기도 쉽다. 그래서 '어느 수에서 나온 숫자인가'로 묶지 않고 '어느 자리에 쓴 숫자인가'로 다시 묶는다. 종이에 쓰는 숫자는 모두 일의 자리 아니면 십의 자리에 있고, 자리별로 보면 숫자가 단순하게 되풀이되어 나열하기 쉽다. 두 자리를 따로 세어 더하면 일이 훨씬 작고 깔끔해진다.
1STEP 1
숫자를 모두 몇 번 쓰게 되는지 먼저 알아보기
숫자를 모두 189번 쓰게 됩니다.
9 × 1 + 90 × 2 = 9 + 180 = 189
한 자리 수와 두 자리 수로 나누는 것은 채워야 할 칸이 몇 개인지 미리 세어 두는 일이다. 10부터 99까지가 90개인 것은 1부터 90까지가 90개인 것과 같은 셈이다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List2STEP 2
수별로 말고 자리별로 다시 모으기
수별로 말고 자리별로 다시 모읍니다.
47 → 십의 자리 4, 일의 자리 7
47을 '사십칠'이라고 읽는 순간 이미 십과 일로 나누어 보고 있는 셈이다. 뒤엉킨 숫자 더미가 자릿값 덕분에 두 개의 가지런한 묶음으로 갈린다.
1.NBT.B.2Organize Information In More Ways적힌 숫자를 수가 아니라 자리로 나누면 어지러운 한 무더기가 정돈된 두 무더기가 된다.
왜?
두 자리 수는 십의 개수와 일의 개수로 이루어지므로, 적힌 각 숫자는 오직 한 자리에만 속한다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
두 자리별 목록은 적힌 모든 숫자를 덮으면서 겹치지 않으므로, 마지막에 개수를 그냥 더하면 된다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
3STEP 3
일의 자리에 쓴 숫자 세기
일의 자리에는 각 숫자가 10번씩 나옵니다.
3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 → 3이 10 번
일의 자리는 0부터 9까지를 끝없이 한 바퀴씩 도는 규칙이다. 한 바퀴만 제대로 보아 두면 수를 세는 대신 바퀴를 세면 된다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
십의 자리에 쓴 숫자 세기
십의 자리에도 1부터 9가 10번씩 나옵니다.
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 → 십의 자리 3이 10 번
열 개씩 든 묶음이 앞자리 숫자마다 하나씩, 모두 아홉 묶음이다. 9 × 10을 생각할 때 쓰는 '똑같이 묶어 세기'와 똑같아서 새로 배울 것이 없다.
3.OA.A.1Make A Systematic List5STEP 5
두 자리의 개수를 더해 표 채우기
더하면 1부터 9는 20번, 0은 9번입니다.
10 + 10 = 20 (1부터 9까지), 9 + 0 = 9 (0)
두 묶음은 겹치는 부분이 전혀 없으므로 그냥 더하면 된다. 빨간 쌓기나무와 파란 쌓기나무를 따로 세어 더하는 것과 같은 이치다.
3.NBT.A.2Organize Information In More Ways6STEP 6
첫 단계에서 구한 189와 맞춰 보기
합이 189로 맞아떨어집니다.
9 + 9 × 20 = 9 + 180 = 189
쓴 숫자는 반드시 한 번씩만 세어야 하므로 열 개의 개수를 모두 더하면 189가 되어야 한다. 앞의 과정을 다시 하지 않고도 확인할 수 있는 검산이다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List정답
0은 9번, 1부터 9는 각각 20번
9 + 9 × 20 = 189
열 개의 개수를 더하면 9 + 9 × 20 = 189가 되고, 이는 한 자리 수 9개와 두 자리 수 90개로 따로 구한 전체 횟수와 같다. 그러니 두 번 센 숫자도, 빠뜨린 숫자도 없다. 0만 혼자 작은 것도 이치에 맞는다. 0은 맨 앞자리에 올 수 없어 십의 자리를 통째로 잃고, 일의 자리 목록도 0이 아니라 10부터 시작하기 때문이다. 모든 개수가 자연수이고 189보다 한참 작다는 점도 당연하다.
핵심 정리
일의 자리와 십의 자리를 따로 세어 보면 1부터 9까지는 모두 20번씩 나오고, 0만 십의 자리에 끼지 못해 9번에 그친다!
- 숫자를 모두 몇 번 쓰게 되는지 먼저 알아보기
- 수별로 말고 자리별로 다시 모으기
- 일의 자리에 쓴 숫자 세기
- 십의 자리에 쓴 숫자 세기
- 두 자리의 개수를 더해 표 채우기
- 첫 단계에서 구한 189와 맞춰 보기