문제
모양 바꾸기
똑같은 동전 6개가 십자 모양으로 놓여 있습니다. 세로줄에 4개, 가로줄에 3개가 있습니다. 동전 하나만 옮길 수 있습니다. 두 줄이 모두 4개가 되게 만듭니다.
사고력 · 초4-2 재치 게임
내 답
조심 납작하게만 옮기려 하면 자리가 모자라지만 포개지 말라는 말은 없습니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 손으로 다루는 문제이니 진짜 동전 6개를 십자 모양으로 놓고 이리저리 밀어 보는 것이 정직한 시작입니다. 한 번 옮겨 보고 두 줄을 세어 보면 무엇이 어긋나는지 바로 보입니다. 몇 번 해 보면 한 줄을 살리는 움직임이 어김없이 다른 줄을 망친다는 것을 알게 되는데, 여기서 잠깐 멈춰야 합니다. 필요한 자리의 개수를 세어 보면 아무리 밀어도 되지 않는다는 것이 증명되기 때문입니다. 그때가 바로 관점을 바꿀 때입니다. 문제가 요구한 것은 각 줄에 놓인 동전이 4개라는 것이지, 동전 여섯 개가 서로 다른 여섯 자리에 납작하게 놓여야 한다는 것이 아닙니다. 동전은 두께가 있는 물건이라 쌓을 수 있고, 거기에 길이 있습니다.
1STEP 1
동전을 놓고 두 줄을 세어 보기
두 줄을 세면 4개와 3개입니다.
세로줄 = 4, 가로줄 = 3
물건을 직접 손에 놓고 보면 지금 형편이 한눈에 들어옵니다. 그리고 나중에 열쇠가 되는 것도 바로 그 손안의 동전 여섯 개입니다.
4.G.A.1Create A Physical Representation2STEP 2
뻔한 방법을 해 보고 실패를 눈으로 보기
한 개를 옮겨도 4와 3이 자리만 바뀝니다.
4 + 3 → 3 + 4 → 4 + 3
몇 번 찍어 보고 확인한 일은 헛수고가 아닙니다. 찍을 때마다 한 줄과 다른 줄이 맞바꾸어진다는 사실 자체가, 더 깊은 무언가가 길을 막고 있다는 신호입니다.
4.OA.A.3Guess And Check3STEP 3
자리 수를 세어 납작하게는 불가능함을 밝히기
납작한 십자는 자리가 7개라 동전이 모자랍니다.
4 + 4 - 1 = 7 ＞ 6
찍어 보는 족족 실패한다면 이길 수 있는 모양이 무엇을 요구하는지 세어 보세요. 요구하는 것이 가진 것보다 많다면, 실패한 까닭이 운이 나빠서가 아니었음이 증명된 셈입니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement자리를 세어 보면 평면 위의 해법이 불가능함이 드러나는데, 두 줄이 함께 실제보다 많은 자리를 요구하기 때문이다.
왜?
동전 여섯 개는 많아야 여섯 자리를 차지할 수 있으므로, 그보다 많은 자리를 요구하면 한 자리에 한 개씩으로는 맞출 수 없다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
요구가 공급을 넘어선다는 것을 보이면 실패가 운이 나빠서가 아님이 증명되며, 그래서 규칙을 다시 읽게 된다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
4STEP 4
관점 바꾸기: 문제가 요구한 것을 다시 읽기
포개지 말라는 말이 없으니 위로 쌓아 봅니다.
3 + 3 - 1 = 5 자리, 5 + 1 개 겹침 = 6 개
자리가 7개 필요하다는 계산은 동전마다 제 자리를 하나씩 차지해야 할 때만 맞는 말입니다. 한 자리에 두 개를 두는 것은 반칙이 아니라, 아무도 만든 적 없는 규칙을 스스로 만들어 놓고 있었음을 알아차리는 일입니다.
4.G.A.1Change Focus Count The Complement5STEP 5
동전 하나만 옮기기
맨 아래 동전을 교차점 위에 포갭니다.
1 + 2 + 1 = 4 개씩, 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6 개
겹쳐 놓은 동전 한 쌍이 자리 두 개 몫을 한꺼번에 해냅니다. 가로줄에 모자라던 바로 그 한 개입니다.
4.OA.A.3Create A Physical Representation6STEP 6
화살표로 나타내기
그러면 두 줄이 모두 4개가 됩니다.
맨 아래 동전 ⟶ 만나는 자리의 동전 위로
동전이 있던 자리에서 간 자리로 화살표를 긋는 것이 움직임을 남기는 가장 또렷한 방법이고, 동그라미를 하나 더 그려야 옆에 놓은 것이 아니라 위에 얹었다는 뜻이 전해집니다.
4.G.A.1Create A Physical Representation정답
맨 아래 동전을 교차점 동전 위에 포개기
1 + 2 + 1 = 4
개수가 맞습니다. 동전 6개로 시작해 6개로 끝나고, 더한 것도 뺀 것도 없습니다. 만나는 자리에 2개, 나머지 네 자리에 1개씩이니 2+1+1+1+1=6입니다. 두 줄 모두 세면 4개로 조건에 맞습니다. 한 번 옮기는 것이 가장 적은 횟수이기도 합니다. 처음 모양이 이미 조건을 만족하지는 않는데 한 번 옮겨서 해결되었기 때문입니다. 납작하게는 안 된다는 것도 끝까지 확인했습니다. 격자 칸에 동전 6개를 놓는 모든 방법을 하나씩 따져 보아도 가로로 4개, 세로로 4개가 되는 배열은 하나도 없습니다. 겹쳐 쌓는 것이 편해서가 아니라 그럴 수밖에 없어서 나온 방법임을 뒷받침합니다.
핵심 정리
아무리 밀어 봐도 안 될 때는 필요한 자리가 몇 개인지 세어 보세요. 그리고 문제가 정말로 '납작하게 놓아야 한다'고 말했는지 다시 읽어 보세요.
- 동전을 놓고 두 줄을 세어 보기
- 뻔한 방법을 해 보고 실패를 눈으로 보기
- 자리 수를 세어 납작하게는 불가능함을 밝히기
- 관점 바꾸기: 문제가 요구한 것을 다시 읽기
- 동전 하나만 옮기기
- 화살표로 나타내기