문제
어떤 수 구하기
어떤 수로 50을 나누면 4가 남습니다. 같은 수로 120을 나누면 5가 남습니다. 이렇게 되는 수는 여럿일 수 있습니다. 그중 가장 큰 수를 구합니다.
사고력 · 초4-1 나눗셈
내 답
조심 공약수 1도 후보 같지만 나머지 5보다 작아 나누는 수가 될 수 없습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 나머지를 그대로 두고 찾으려 하면 다루기가 까다롭다. 그래서 나머지의 뜻에서 거꾸로 되짚는다. 50에서 4가 남았다면 그 4를 덜어 낸 수는 어떤 수로 딱 나누어떨어진다. 이렇게 하면 지저분한 나머지 조건 두 개가 '딱 나누어떨어진다'는 깔끔한 조건 두 개로 바뀐다. 그다음에 두 수의 약수를 빠짐없이 늘어놓고 양쪽에 다 있는 것만 남긴 뒤, 나머지 5를 남길 수 없을 만큼 작은 것을 지우면 된다.
1STEP 1
나머지를 없애서 나누어떨어지는 나눗셈으로 바꾸기
나머지를 빼면 46과 115가 나누어떨어집니다.
50 - 4 = 46, 120 - 5 = 115
남는 것부터 되돌려 놓고 보는 방법이다. 나눠 주기 전에 남을 사탕을 미리 빼놓으면, 그릇에 남은 것은 딱 떨어지게 나뉜다.
4.NBT.B.6Work Backwards2STEP 2
46과 115의 약수를 모두 늘어놓기
46의 약수는 1, 2, 23, 46입니다.
46 = 1 × 46 = 2 × 23, 115 = 1 × 115 = 5 × 23
1, 2, 3… 차례대로 짝을 찾으면 빠뜨릴 수가 없다. 게다가 짝을 하나 찾을 때마다 상대편 약수까지 덤으로 얻는다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
양쪽에 다 있는 수만 남기기
양쪽에 다 있는 수는 1과 23입니다.
{1, 2, 23, 46} 과 {1, 5, 23, 115} → {1, 23}
짧은 목록 두 개만 맞대 보면 되니, 46까지 나누는 수를 하나씩 다 시험해 보는 것보다 훨씬 빠르다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
너무 작아서 안 되는 수 지우기
1은 나머지 5보다 작아 지워집니다.
1 ＜ 5 이므로 1로 나누어 나머지 5 가 될 수 없다
남은 것이 나누는 수만큼 크다면 묶음을 하나 더 만들어 줄 수 있다는 뜻이다. 그래서 나머지는 늘 작을 수밖에 없고, 이 간단한 잣대 하나로 1이 바로 걸러진다.
4.NBT.B.6Eliminate Possibilities나누는 수가 1일 수는 없는데, 나머지는 언제나 나누는 수보다 작아야 하기 때문이다.
왜?
나머지가 나누는 수만큼 크다면 온전한 묶음을 하나 더 나눠 줄 수 있으므로, 나머지는 그 바로 아래에서 멈춘다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
왜?
그 한 가지 검사가 가장 작은 후보를 곧바로 없애고, 두 목록에 함께 있는 수 하나만 제대로 확인하면 되도록 남긴다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
5STEP 5
23이 두 조건에 다 맞는지 확인하기
두 조건을 모두 만족하는 수는 23입니다.
50 = 23 × 2 + 4, 120 = 23 × 5 + 5
나누어지는 수를 '나누는 수 × 몫 + 나머지'로 되만들어 보는 것은 나눗셈을 검산하는 가장 기본적인 방법이다. 새로운 생각을 보태지 않고도 답을 확인할 수 있다.
4.NBT.B.6Eliminate Possibilities정답
23
50 = 23 × 2 + 4, 120 = 23 × 5 + 5
답은 나머지 5를 남길 수 있어야 하니 5보다 커야 하고, 46을 나누어야 하니 46보다 클 수 없는데 23은 그 사이에 잘 들어간다. 처음 두 조건도 정확히 맞는다. 23 × 2 + 4 = 50, 23 × 5 + 5 = 120이다. 답이 하나뿐이었던 것도 당연하다. 46과 115가 1 말고는 23만 공통 약수로 가지니 더 큰 답이 들어설 자리가 애초에 없었다.
핵심 정리
남는 것부터 먼저 덜어 내 보자. 그러면 골치 아픈 나머지 문제가 평범한 공통 약수 찾기로 바뀐다!
- 나머지를 없애서 나누어떨어지는 나눗셈으로 바꾸기
- 46과 115의 약수를 모두 늘어놓기
- 양쪽에 다 있는 수만 남기기
- 너무 작아서 안 되는 수 지우기
- 23이 두 조건에 다 맞는지 확인하기
이어서 풀어볼까요