문제
몫과 나머지
세 자리 수를 73으로 나눕니다. 몫과 나머지가 서로 같아야 합니다. 나머지는 73보다 작아야 합니다. 그런 세 자리 수가 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초4-1 나눗셈
내 답
조심 73의 배수를 찾게 될 것 같지만 몫과 나머지를 합치면 74의 배수가 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 세 자리 수 900개를 하나씩 나누어 보는 것은 너무 느리다. 그래서 나눗셈을 거꾸로 뒤집는다. 수에서 출발해 나누는 대신, 몫과 나머지가 함께 갖는 값에서 출발해 수를 도로 만드는 것이다. 그 값은 0부터 72까지로 정말 끝이 있는 목록이다. 나머지는 결코 나누는 수만큼 커질 수 없기 때문이다. 값 하나마다 수가 딱 하나씩 만들어지고, 그렇게 만든 수를 몇 개만 차례로 적어 보면 일정한 크기씩 커지는 것이 보인다. 그러면 후보를 순서대로 늘어놓고 세 자리가 아닌 것만 지우면 된다.
1STEP 1
나눗셈을 곱셈으로 바꿔 쓰기
나눗셈을 73 × 몫 + 나머지 꼴로 씁니다.
(수) = 73 × (몫) + (나머지)
나눗셈을 하고 나서 늘 하던 검산을 그대로 쓴 것이다. 다만 거꾸로가 아니라 앞에서부터 읽었을 뿐이다.
4.NBT.B.6Make A Systematic List2STEP 2
조건을 써서 모르는 것을 하나로 줄이기
둘이 같으므로 그 수는 74의 배수입니다.
73 × □ + □ = 74 × □
같은 것 73개에 같은 것 하나를 더하면 74개가 된다. 사과 73개에 사과 1개를 더하던 것과 똑같은 '같은 묶음끼리 모으기'다.
4.OA.B.4Look For A Pattern몫과 나머지가 같은 수이므로, 그것의 73배에 그것 하나를 더하면 74배가 된다.
왜?
같은 것의 묶음들은 한데 모을 수 있으므로, 공통된 인수를 합 전체에서 한꺼번에 뽑아낼 수 있다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
나누어지는 수는 나누는 수 곱하기 몫에 나머지를 더한 것이며, 그래서 두 미지수를 하나로 쓸 수 있다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
3STEP 3
나머지 규칙으로 □의 범위 좁히기
나머지는 73보다 작아야 하므로 범위가 좁혀집니다.
나머지가 73까지 갔다면 묶음을 하나 더 덜어낼 수 있었을 것이다. 그래서 나머지는 73보다 작을 수밖에 없고, 이 규칙 하나가 끝없는 찾기를 짧은 목록으로 바꾼다.
4.NBT.B.6Eliminate Possibilities4STEP 4
후보를 늘어놓고 규칙 보기
후보는 74, 148, 222 …로 이어집니다.
0, 74, 148, 222, 296, 370, …
늘 같은 74씩 커지니, 이 목록이 세 자리 수 구간에 어디서 들어가고 어디서 빠져나가는지만 찾으면 된다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List5STEP 5
세 자리가 아닌 것 지우기
세 자리인 것은 148부터 962까지입니다.
74 × 2 = 148, 74 × 13 = 962, 74 × 14 = 1036
양쪽 끝 두 군데만 확인하면 충분하다. 그 사이의 수는 저절로 148과 962 사이에 놓이기 때문이다.
4.NBT.B.5Eliminate Possibilities6STEP 6
살아남은 □ 세기
세어 보면 12개입니다.
13 - 2 + 1 = 12
2부터 13까지 세려면 빼기만 해서는 맨 앞의 하나를 빠뜨린다. 그래서 1을 다시 더해 주어야 한다.
4.OA.A.3Make A Systematic List7STEP 7
하나를 골라 검산하기
592를 나누어 보면 몫과 나머지가 모두 8입니다.
592 ÷ 73 = 8 … 8, 73 × 8 + 8 = 592
목록 한가운데서 하나를 뽑아 확인해 보면, 곱셈으로 바꿔 쓴 지름길이 원래 나눗셈을 정말 그대로 되살리는지 알 수 있다.
4.NBT.B.6Make A Systematic List정답
12 개
13 − 2 + 1 = 12
답은 개수이므로 자연수여야 하고, 세 자리 수가 모두 900개이니 그보다 클 수 없다. 12는 넉넉히 그 안이다. 크기도 그럴듯하다. 조건에 맞는 수는 결국 세 자리인 74의 배수인데, 900 ÷ 74가 대략 12이므로 딱 들어맞는다. 늘어놓은 열두 수는 모두 진짜 세 자리 수이고, 가장 큰 962는 999보다 작은데 바로 다음 수인 1036은 그것을 넘어선다. 하나가 모자라지도, 하나가 더 붙지도 않았다.
핵심 정리
몫과 나머지가 같으면 73묶음에 나머지 하나를 더한 것이 곧 74묶음입니다. 그러니 답은 세 자리 수인 74의 배수예요.
- 나눗셈을 곱셈으로 바꿔 쓰기
- 조건을 써서 모르는 것을 하나로 줄이기
- 나머지 규칙으로 □의 범위 좁히기
- 후보를 늘어놓고 규칙 보기
- 세 자리가 아닌 것 지우기
- 살아남은 □ 세기
- 하나를 골라 검산하기
이어서 풀어볼까요