문제
나머지가 될 수 있는 수
어떤 수를 40으로 나누어야 하는데 잘못하여 4로 나누었습니다. 잘못된 나눗셈의 몫과 나머지가 올바른 것의 몫과 나머지를 서로 바꾼 것과 같았습니다. 나머지는 늘 나누는 수보다 작습니다. 이런 수 중 가장 작은 수를 구합니다.
사고력 · 초3-2 식 완성하기
내 답
조심 몫을 마음대로 키울 수 있을 것 같지만, 그 몫이 4로 나눈 나머지가 되므로 4보다 작아야 합니다.
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기 — 같은 수를 몫 q와 나머지 r가 서로 바뀐 두 가지 방식으로 쓸 수 있으므로, 두 나눗셈식을 세워 같다고 놓으면 q와 r의 관계가 정해집니다. 나머지는 나누는 수보다 작아야 한다는 규칙이 q의 값을 몇 개로 좁혀 주고, 그중 가장 작은 값이 가장 작은 수를 주므로 직접 확인합니다.
1STEP 1
두 나눗셈식 세우기
몫 q, 나머지 r로 두면 수는 40q + r이자 4r + q입니다.
40q + r = 4r + q
어떤 나눗셈이든 (나누는 수 × 몫) + 나머지로 다시 쓸 수 있으므로, 한 수를 두 가지 방법으로 적어 비교할 수 있습니다.
4.NBT.B.6Convert To Algebra어떤 나눗셈이든 나누는 수 곱하기 몫 더하기 나머지로 되쓸 수 있으므로, 한 수를 두 가지로 나타내어 견줄 수 있다.
왜?
어떤 수를 같은 크기의 온전한 묶음과 나머지로 가르는 일은 언제나 가능하며 언제나 한 가지 방법뿐이다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
왜?
묶음들과 나머지는 빈틈도 겹침도 없이 그 수를 채우므로, 다시 합치면 정확히 그 수가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
q와 r의 관계 찾기
두 식을 같다고 두면 r = 13q가 나옵니다.
39q = 3r → r = 13q
식을 정리하면 말로 된 ‘바뀜’ 조건이 ‘나머지는 몫의 13배’라는 깔끔한 규칙으로 바뀝니다.
4.OA.B.4Convert To Algebra3STEP 3
나머지 규칙으로 q의 범위 좁히기
q가 4로 나눈 나머지라 q는 3 이하여야 합니다.
q ＜ 4, r = 13q ＜ 40 → q ∈ {1,2,3}
나머지는 나누는 수만큼 커질 수 없다는 한 가지 규칙만으로도 가능한 경우가 몇 개로 줄어듭니다.
4.NBT.B.6Guess And Check4STEP 4
가장 작은 수를 만들고 확인하기
가장 작은 q = 1이면 r = 13이라 수는 53입니다.
40 × 1 + 13 = 53; 53 ÷ 40 = 1 나머지 13, 53 ÷ 4 = 13 나머지 1
가장 작은 몫이 가장 작은 수를 주고, 두 방법으로 나누어 보면 몫과 나머지가 정말로 자리를 바꾸는 것을 확인할 수 있습니다.
4.NBT.B.6Guess And Check정답
53
53 ÷ 40 = 1 … 13, 53 ÷ 4 = 13 … 1
53은 크기가 적절합니다. 40으로 한 번 나누면 13이 남고, 같은 53을 4로 나누면 1이 남아 1과 13이 서로 바뀝니다. 두 나머지 모두 규칙을 지킵니다(13 ＜ 40, 1 ＜ 4). 다음 답은 q = 2일 때 106, q = 3일 때 159로 모두 더 크므로 53이 가장 작습니다.
핵심 정리
각 수를 (나누는 수 × 몫) + 나머지로 다시 쓰고 두 식을 같다고 놓으면, ‘나머지는 나누는 수보다 작다’는 규칙이 대부분의 일을 해 줘요!
- 두 나눗셈식 세우기
- q와 r의 관계 찾기
- 나머지 규칙으로 q의 범위 좁히기
- 가장 작은 수를 만들고 확인하기