문제
간단한 곱셈
곱셈을 간단히 계산한 보기가 세 묶음 주어집니다. 묶음마다 저마다의 계산 규칙이 숨어 있습니다. 보기에서 규칙을 알아내야 합니다. 같은 규칙으로 78 × 99, 62 × 68, 89 × 29를 계산합니다.
사고력 · 초4-1 곱셈
내 답
조심 한 규칙으로 다 될 것 같지만 묶음마다 규칙이 달라 따로 읽어야 합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 묶음 하나하나가 풀어야 할 작은 암호다. 그래서 두 곱해지는 수의 숫자와 답의 숫자가 어떻게 이어지는지 그 규칙을 찾는다. 세 묶음은 서로 상관이 없으니 세 개의 작은 문제로 나누어 하나를 끝내고 다음으로 넘어간다. 그리고 짐작한 규칙을 바로 믿지 않는다. 먼저 그 묶음의 보기를 모두 넣어 확인하고, 그다음에야 새 곱셈에 쓴다.
1STEP 1
(1) 보기에서 규칙 읽어 내기
(1)의 규칙은 100배 하고 한 번 빼기입니다.
n × 99 = n × (100 - 1) = n × 100 - n
99묶음은 100묶음에서 한 묶음을 뺀 것이다. 9 × 7을 70 - 7로 구하던 하나 빼기 요령과 똑같다.
3.OA.B.5Look For A Pattern어떤 수의 99배는 100배에서 그 수 하나를 덜어낸 것이다.
왜?
100묶음은 99묶음과 한 묶음으로 가를 수 있으므로, 99를 곱한 것과 100을 곱한 것은 정확히 한 개 차이다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
그 하나를 덜어내는 것은 더한 일을 되돌리므로, 쉬운 100배 곱을 뺄셈 한 번으로 바로잡을 수 있다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
2STEP 2
(1) 78 × 99에 써 보기
그래서 78 × 99 = 7722입니다.
78 × 99 = 7800 - 78 = 7722
100을 곱하는 일은 숫자를 두 자리 옮겨 쓰는 것뿐이라, 두 자리 수끼리의 곱셈이 뺄셈 한 번으로 끝난다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems3STEP 3
(2) 답을 반으로 갈라 규칙 찾기
(2)는 답을 갈라 보면 앞은 십의 자리와 그다음 수의 곱입니다.
43 × 47: 4 × 5 = 20, 3 × 7 = 21 → 2021
네 자리 답을 백의 자리 앞에서 자르는 것은 그 수를 몇백 몇으로 읽는 일과 같다. 어느 수든 자릿값으로 읽을 때 하는 그대로다.
3.OA.B.5Look For A Pattern4STEP 4
(2) 쓰기 전에 보기 셋 모두로 규칙 확인하기
보기 셋 모두에서 규칙이 맞습니다.
36 × 34: 3 × 4 = 12, 6 × 4 = 24 → 1224
보기 하나만 맞으면 우연일 수 있지만, 서로 다른 보기 셋을 모두 맞히는 규칙이라면 써 볼 만하다.
4.NBT.B.5Guess And Check5STEP 5
(2) 62 × 68에 써 보기
그래서 62 × 68 = 4216입니다.
62 × 68: 6 × 7 = 42, 2 × 8 = 16 → 4216
주어진 수가 그 묶음의 설명에 정말 맞는지부터 살펴야 규칙을 마음 놓고 쓸 수 있다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems6STEP 6
(2)의 규칙이 통하는 까닭
일의 자리 합이 10이라 딱 떨어집니다.
60 × 60 + 60×(8+2) + 2 × 8 = 3600 + 600 + 16 = 4216
두 수를 각각 몇십과 몇으로 쪼개어 조각끼리 곱하는 것은 곱셈을 직사각형 넓이로 보는 그림 그대로다. 일의 자리 숫자의 합이 10이라서 가운데 두 조각이 한 덩어리의 깔끔한 수로 합쳐진다.
3.OA.B.5Identify Subproblems7STEP 7
(3) 다시 반으로 갈라 규칙 찾기
(3)은 일의 자리가 같아 앞에 일의 자리를 더합니다.
45 × 65: 4 × 6 + 5 = 29, 5 × 5 = 25 → 2925
이번에는 앞의 두 자리에 작은 덧셈이 하나 더 붙었다. 보기 셋을 다 넣어 봐야 하는 이유가 바로 이것이다. 보기 하나만 봤다면 더해야 할 일의 자리 숫자를 놓쳤을 것이다.
3.OA.B.5Look For A Pattern8STEP 8
(3) 89 × 29에 써 보기
그래서 89 × 29 = 2581입니다.
89 × 29: 8 × 2 + 9 = 25, 9 × 9 = 81 → 2581
한 자리 곱셈 두 번과 작은 덧셈 한 번이 두 자리끼리의 곱셈을 대신하니, 곱 전체를 머릿속으로 끝낼 수 있다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems정답
7722, 4216, 2581
7800 − 78 = 7722
세 답 모두 크기가 알맞은 자리에 있다. 78 × 99는 78 × 100 = 7800보다 조금 작아야 하는데 7722는 정확히 78만큼 작다. 62 × 68은 65 × 65인 약 4225 언저리여야 하는데 4216이 바로 그 조금 아래다. 89 × 29는 89 × 30 = 2670보다 89만큼 작아야 하는데 2670 - 89 = 2581로 딱 들어맞는다. 보통의 세로셈으로 계산해도 7722, 4216, 2581이 나오므로 세 규칙 모두 제대로 쓰였다.
핵심 정리
간편한 계산 방법은 보기마다 다 넣어 본 뒤에 믿으세요. 한 번 맞는 건 우연일 수 있지만 세 번 맞으면 규칙입니다!
- (1) 보기에서 규칙 읽어 내기
- (1) 78 × 99에 써 보기
- (2) 답을 반으로 갈라 규칙 찾기
- (2) 쓰기 전에 보기 셋 모두로 규칙 확인하기
- (2) 62 × 68에 써 보기
- (2)의 규칙이 통하는 까닭
- (3) 다시 반으로 갈라 규칙 찾기
- (3) 89 × 29에 써 보기
이어서 풀어볼까요