문제
직각 삼각자와 각도
두 직각 삼각자를 밑변이 같은 수평선 위에 놓이도록 겹쳐 두었습니다. 왼쪽 삼각자의 빗변은 밑변과 30도를 이룹니다. 오른쪽 삼각자의 빗변은 밑변과 45도를 이룹니다. 두 빗변이 만나 생기는 각 ①을 구합니다.
사고력 · 초4-1 삼각형과 각도
내 답
조심 삼각형에서 구한 105도를 그대로 쓰고 싶지만 ①은 그 각의 이웃이라 180도에서 빼야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 삼각자 두 개가 겹쳐 있어 그림이 복잡해 보인다. 그러니 색칠된 부분은 잠시 잊고 꼭 필요한 선만 골라내는 일부터 한다. 밑변 하나와 빗변 둘, 이 세 직선만 남기면 그 자체로 평범한 삼각형 하나가 된다. 그 삼각형의 두 밑각이 바로 주어진 30°와 45°이다. 숨어 있던 삼각형을 따로 떼어 내고 나면 남는 일은 짧은 뺄셈 두 번뿐이다.
1STEP 1
그림을 직선 세 개로 줄이기
그림을 두 빗변과 밑변 세 직선으로 줄입니다.
각을 묻는 문제는 결국 직선에 대한 문제이지 색칠된 도형에 대한 문제가 아니다. 표시된 각에 닿지 않는 부분을 지워 버리면 어수선하던 그림이 평범한 삼각형으로 바뀐다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
삼각형의 두 밑각 채워 넣기
그 삼각형의 밑각은 45도와 30도입니다.
∠ PLR = 45°, ∠ PRL = 30°
삼각자는 각도가 정해져 있는 도구다. 그래서 이 두 각은 재어 보지 않아도 바로 읽어 낼 수 있다. 세상 어느 삼각자를 가져와도 똑같은 45°와 30°다.
4.MD.C.7Organize Information In More Ways3STEP 3
삼각형 안쪽에서 교점의 각 구하기
꼭짓점의 각은 180 − 75 = 105도입니다.
∠ LPR = 180° - (45° + 30°) = 180° - 75° = 105°
삼각형의 세 각의 합을 쓰면 알고 있는 두 각이 나머지 한 각을 알려 준다. 그런데 그 나머지 한 각이 놓인 자리가 바로 문제가 묻는 그 점이다.
8.G.A.5Identify Subproblems4STEP 4
아래로 열린 각에서 왼쪽으로 열린 각으로 옮겨 가기
①은 그 이웃이라 180 − 105 = 75도입니다.
㉠ = 180° - 105° = 75°
곧게 뻗은 직선은 그 자체가 180°짜리 각이다. 그 위에 나란히 놓인 두 각 중 하나를 알면 나머지는 뺄셈 한 번으로 나온다.
7.G.B.5Identify Subproblems아래쪽 각을 알고 나면 그 옆의 왼쪽 각은 180도에서 한 번 빼기만 하면 된다.
왜?
직선은 180도의 각이므로, 그 위에 나란히 놓인 두 각은 언제나 정확히 그만큼을 채운다.
🧱평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
왜?
두 각은 같은 점에서 빈틈도 겹침도 없이 만나므로, 그 크기를 더하면 평각이 된다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
정답
75 도
180 − 105 = 75
75°는 예각이고, 그림에 그려진 호도 직각보다 눈에 띄게 좁다. 크기가 그림과 잘 맞는다. 한 가지 더 짚어 보면, ㉠은 삼각형 LPR의 점 P에서의 외각이고 45° + 30° = 75°는 멀리 있는 두 내각의 합과 정확히 같다. 외각의 성질로도 한 줄에 확인된다. 마지막으로 교점에 생긴 네 각은 105°, 75°, 105°, 75°인데, 한 점 둘레의 각답게 모두 더하면 360°가 된다.
핵심 정리
표시된 각에 닿지 않는 선은 모두 지워 보세요. 겹쳐 놓은 삼각자 두 개 밑에는 처음부터 평범한 삼각형 하나가 숨어 있었을 뿐입니다.
- 그림을 직선 세 개로 줄이기
- 삼각형의 두 밑각 채워 넣기
- 삼각형 안쪽에서 교점의 각 구하기
- 아래로 열린 각에서 왼쪽으로 열린 각으로 옮겨 가기
이어서 풀어볼까요