문제
다각형의 내각의 크기의 합
변의 길이와 내각이 제각각인 볼록한 오각형이 있습니다. 꼭짓점마다 한 변이 바깥으로 곧게 늘어나 있습니다. 늘인 반직선과 다른 한 변 사이의 각이 표시되어 있습니다. 표시된 다섯 각의 합을 구합니다.
사고력 · 초4-1 다각형과 각도
내 답
조심 각을 하나씩 구해야 할 것 같지만 합만 묻고 있어 통째로 계산하면 됩니다.
풀이 과정
전략 다르게 정리하기 — 표시된 각 하나하나는 끝내 구할 수 없으니, 이미 아는 것과 묶어 놓는 수밖에 없다. 표시된 각에는 언제나 짝이 하나 붙어 있다. 바로 같은 꼭짓점에 있는 오각형 자신의 내각이고, 이 둘은 늘 한 직선을 이룬다. 그래서 모르는 다섯 각을 '평각 다섯 개에서 내각 다섯 개를 뺀 것'으로 다시 정리한다. 내각의 합은 이미 180°를 아는 삼각형이라는 더 쉬운 문제로 줄여서, 오각형을 삼각형으로 잘라 구한다.
1STEP 1
표시된 각을 옆에 있는 내각과 짝지어 보기
표시된 각과 옆 내각의 합은 180도입니다.
㉠ + (그 꼭짓점의 내각) = 180°
변을 꼭짓점 너머로 늘이면 그 꼭짓점을 지나는 직선이 생긴다. 한 직선 위에 나란히 놓인 두 각은 언제나 둘이서 180°를 채운다.
7.G.B.5Draw A Diagram2STEP 2
다섯 개의 평각을 한꺼번에 더하기
다섯 꼭짓점을 모두 더하면 900도입니다.
(㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤) + (다섯 내각의 합) = 5 × 180° = 900°
각의 크기는 무게처럼 그냥 더해진다. 그래서 180°짜리 짝 다섯 쌍을 한 통에 부어 900°로 만들어도 두 번 세거나 빠뜨리는 일이 없다.
4.MD.C.7Organize Information In More Ways다섯 꼭짓점을 지나는 다섯 개의 직선이 겹침 없이 합쳐 900도라는 하나의 총합을 준다.
왜?
각 꼭짓점에서 표시된 각과 내각은 한 직선 위에 나란히 놓여 180도를 채운다.
🧱평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
왜?
각의 크기는 무게처럼 더해지므로, 따로 있던 다섯 짝을 하나의 총합으로 모아도 빠지거나 되풀이되는 것이 없다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
3STEP 3
오각형의 내각의 합을 삼각형에서 얻기
오각형의 내각의 합은 540도입니다.
3 × 180° = 540°
외워야 할 각의 합은 삼각형의 180° 하나뿐이다. 다각형의 각의 합은 도형을 삼각형으로 잘라 거기서 만들어 내면 된다.
8.G.A.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
빼서 표시된 각만 남기기
빼면 표시된 각의 합은 360도입니다.
㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ + ㉤ = 900° - 540° = 360°
전체를 알고 그중 한 부분을 알면 나머지 부분은 뺄셈 한 번이면 된다. 그 나머지가 따로따로는 잴 수 없는 다섯 각이어도 마찬가지다.
4.MD.C.7Organize Information In More Ways정답
360 도
900 − 540 = 360
360°는 딱 한 바퀴이고, 다섯 각이 평균 72°쯤이라는 뜻이니 그림에 그려진 좁은 호들과도 어울린다. 각을 모두 아는 도형으로 시험해 보자. 정오각형은 내각이 108°이므로 표시되는 각은 180° - 108° = 72°이고 5 × 72° = 360°다. 삼각형으로 해 보면 3 × 180° - 180° = 360°, 정사각형으로 해 보면 4 × 180° - 360° = 360°로 또 같다. 변이 몇 개든 답이 한 바퀴로 같다는 것, 이것이 그림에 각도가 하나도 없어도 답을 구할 수 있는 까닭이다.
핵심 정리
못 구하는 각은 구할 수 있는 각과 짝지어 보자. 평각 다섯 개에서 오각형 하나를 덜어 내면 딱 한 바퀴, 360°가 남는다!
- 표시된 각을 옆에 있는 내각과 짝지어 보기
- 다섯 개의 평각을 한꺼번에 더하기
- 오각형의 내각의 합을 삼각형에서 얻기
- 빼서 표시된 각만 남기기
이어서 풀어볼까요