문제
삼각형으로 각도 구하기
점 ㄱ, ㅁ, ㄹ이 위쪽 한 직선 위에 차례로 놓이고, 점 ㄴ은 왼쪽 아래, 점 ㄷ은 오른쪽 아래에 있습니다. 선분 ㄱㄷ, ㅁㄴ, ㅁㄷ, ㄹㄴ이 그어져 ㅂ은 ㄱㄷ과 ㅁㄴ의 교점, ㅅ은 ㄱㄷ과 ㄹㄴ의 교점, ㅇ은 ㅁㄷ과 ㄹㄴ의 교점입니다. 주어진 각은 각 ㅁㄱㄷ = 50°, 각 ㅁㄹㄴ = 30°, 각 ㅁㄴㄹ = 24°, 각 ㄱㄷㅁ = 25°입니다. 각 ㄴㅂㅅ과 각 ㅁㅇㄹ의 크기를 차례로 구합니다.
사고력 · 초4-1 다각형과 각도
내 답
조심 삼각형에서 구한 각을 그대로 옮기고 싶지만, 필요한 것은 180도에서 뺀 이웃 각일 때가 많습니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 선분 다섯 개가 얽혀 있어 복잡해 보이지만 그 속에 평범한 삼각형이 여러 개 숨어 있습니다. 요령은 이렇습니다. 먼저 주어진 각 중 두 개를 이미 품고 있는 삼각형을 찾아 세 각의 합 180°로 나머지 한 각을 채우고, 그렇게 얻은 각을 구하려는 각이 있는 이웃 삼각형에 넘겨 줍니다. 두 각은 각자 삼각형 두 개짜리 사슬이 필요하므로, 한꺼번에 풀지 않고 각 ㄴㅂㅅ과 각 ㅁㅇㄹ을 따로 떼어 작은 문제 두 개로 풉니다.
1STEP 1
위쪽 직선을 이용해 주어진 각을 바꿔 부르기
위쪽 직선 덕분에 주어진 각을 같은 각으로 바꿔 부를 수 있습니다.
∠ ㄹㄱㄷ = ∠ ㅁㄱㄷ = 50°, ∠ ㄱㄹㄴ = ∠ ㅁㄹㄴ = 30°
선분 위에 놓인 점을 지난다고 해서 바라보는 방향이 달라지지는 않습니다. 같은 반직선 위의 가까운 점으로 부르든 먼 점으로 부르든 결국 같은 각입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
삼각형 ㄱㅅㄹ에서 점 ㅅ의 각 구하기
큰 삼각형에서 교점의 각은 100도입니다.
∠ ㄱㅅㄹ = 180° - 50° - 30° = 100°
삼각형 ㄱㅅㄹ은 위쪽 직선에 붙은 두 각을 한꺼번에 품은 유일한 삼각형입니다. 주어진 두 조건이 드디어 만나는 자리인 셈입니다.
8.G.A.5Identify Subproblems삼각형 AGD는 위쪽 선의 두 주어진 각을 한꺼번에 품은 유일한 삼각형이므로, 두 단서를 마침내 합칠 수 있는 곳이다.
왜?
평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나를 이루므로, 두 각을 알면 나머지 하나가 나온다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
왜?
각의 크기는 더해지므로, 주어진 두 각을 하나의 합으로 모으고 남은 각을 뺄셈 한 번으로 읽어 낼 수 있다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
3STEP 3
100°를 선분 ㄹㄴ 반대쪽으로 넘기기
반대쪽으로 넘기면 80도가 됩니다.
∠ ㄱㅅㄴ = 180° - 100° = 80°
직선 반대쪽으로 넘어가는 것은 180°에서 한 번 빼는 일에 지나지 않습니다. 그 한 번으로 알고 있는 각이 ㅂ과 ㄴ을 마주 보는 쪽으로 옮겨 옵니다.
7.G.B.5Organize Information In More Ways4STEP 4
삼각형 ㅂㅅㄴ에서 각 ㄴㅂㅅ 마무리하기
다음 삼각형에서 첫 답은 76도입니다.
∠ ㄴㅂㅅ = 180° - 80° - 24° = 76°
ㅅ에서 알아낸 80°와 ㄴ에서 주어진 24°는 삼각형 ㅂㅅㄴ에서 구하려는 각을 뺀 나머지 두 각 바로 그것입니다. 삼각형의 각의 합을 한 번 더 쓰면 끝납니다.
8.G.A.5Identify Subproblems5STEP 5
두 번째 사슬을 삼각형 ㄱㅁㄷ에서 시작하기
두 번째 사슬은 105도에서 시작합니다.
∠ ㄱㅁㄷ = 180° - 50° - 25° = 105°
아직 쓰지 않은 두 조건 50°와 25°가 나란히 들어 있는 곳이 삼각형 ㄱㅁㄷ이니, 두 번째 사슬은 여기서 출발하는 것이 자연스럽습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems6STEP 6
105°를 점 ㅁ의 반대쪽 각으로 바꾸기
반대쪽 각으로 바꾸면 75도입니다.
∠ ㄹㅁㄷ = 180° - 105° = 75°
점 ㅇ에서 구하려는 각은 ㄹ 쪽으로 열려 있으므로, ㅁ에서 알아낸 각도 먼저 위쪽 직선의 ㄹ 쪽으로 옮겨 놓아야 합니다. 이번에도 180°에서 한 번 빼면 됩니다.
7.G.B.5Organize Information In More Ways7STEP 7
삼각형 ㅁㅇㄹ에서 각 ㅁㅇㄹ 마무리하기
마지막 삼각형에서 둘째 답도 75도입니다.
∠ ㅁㅇㄹ = 180° - 75° - 30° = 75°
삼각형 ㅁㅇㄹ도 처음 삼각형과 같은 위쪽 직선에 걸려 있습니다. 그래서 ㄹ에서 주어진 30°를 두 번째로 다시 쓰게 되고, 새로 구해야 했던 각은 하나뿐이었습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems정답
76, 75 도
180 − 80 − 24 = 76, 180 − 75 − 30 = 75
두 답 모두 0°와 180° 사이에 있고 예각이어서, 그림에서 점 ㅂ과 점 ㅇ에 그려진 좁은 호와 잘 맞습니다. 각 ㄴㅂㅅ을 다시 확인해 봅시다. ㅂ은 교점이므로 맞꼭지각인 각 ㄱㅂㅁ도 76°이고, 삼각형 ㄱㅂㅁ에서 각 ㄱㅁㅂ = 180° - 50° - 76° = 54°가 됩니다. 곧 각 ㄱㅁㄴ이 54°라는 뜻인데, 그림에서 가파르게 내려가는 선분 ㅁㄴ의 모습과 잘 어울립니다. 각 ㅁㅇㄹ도 확인해 보면, 곧게 지나는 선분 ㄹㄴ 위에서 이웃한 각 ㅁㅇㄴ은 180° - 75° = 105°이고, 삼각형 ㅁㅇㄴ에서 각 ㅇㅁㄴ = 180° - 105° - 24° = 51°로 넉넉히 양수입니다. 사슬 어디에서도 있을 수 없는 각이 나오지 않았습니다.
핵심 정리
선이 얽힌 그림에서는 아는 각 두 개를 이미 품고 있는 삼각형부터 찾으세요. 거기서 얻은 답을 계주 배턴처럼 옆 삼각형에 넘겨 주면 됩니다.
- 위쪽 직선을 이용해 주어진 각을 바꿔 부르기
- 삼각형 ㄱㅅㄹ에서 점 ㅅ의 각 구하기
- 100°를 선분 ㄹㄴ 반대쪽으로 넘기기
- 삼각형 ㅂㅅㄴ에서 각 ㄴㅂㅅ 마무리하기
- 두 번째 사슬을 삼각형 ㄱㅁㄷ에서 시작하기
- 105°를 점 ㅁ의 반대쪽 각으로 바꾸기
- 삼각형 ㅁㅇㄹ에서 각 ㅁㅇㄹ 마무리하기
이어서 풀어볼까요