문제
행과 열이 있는 배열
1, 2, 3 …을 삼각형 모양으로 한 행씩 늘어놓습니다. 아래로 갈수록 한 행에 놓이는 수가 하나씩 늘어납니다. 1행은 1, 2행은 2 3, 3행은 4 5 6, 4행은 7 8 9 10입니다. 10행의 8번째 수를 구합니다.
사고력 · 초4-1 수 배열표
내 답
조심 8번째라고 46에 8을 더하고 싶지만, 첫 수가 이미 1번째라 7만 더합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 열 개 행의 수를 하나하나 다 써 볼 것 없이, 행마다 딱 하나만 따라가면 된다. 바로 그 행의 마지막 수다. 이 끝수들이 늘어나는 방식이 간단해서, 짧게 나열하는 것만으로 4행에서 9행까지 내려갈 수 있다. 9행이 어디서 끝나는지만 알면 10행은 바로 그다음 수부터 시작하니, 한 행 안에서 일곱 칸만 옮겨 가면 끝난다.
1STEP 1
그림에서 각 행에 놓인 수의 개수 읽기
몇 행에는 그 행 번호만큼 수가 놓입니다.
r행에는 수가 r 개
삼각형이라는 생김새 자체가 규칙이다. 아래로 내려갈 때마다 한 칸씩 넓어지는 것을 그림에서 바로 볼 수 있다.
4.OA.C.5Draw A Diagram2STEP 2
각 행이 어떤 수로 끝나는지 살펴보기
각 행의 끝수는 1, 3, 6, 10으로 늘어납니다.
1 → 3 → 6 → 10
끝수 자체를 붙잡는 것보다 그 수가 얼마씩 커지는지를 보는 편이 쉽다. 여기서는 커지는 양이 바로 행 번호다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
끝수를 9행까지 이어 가기
이어 가면 9행의 끝수는 45입니다.
10 → 15 → 21 → 28 → 36 → 45
9행까지 가는 데 작은 덧셈 다섯 번이면 충분하다. 삼각형에 수 45개를 다 써 보는 것과는 견줄 수 없이 가볍다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List4STEP 4
10행이 어디서 시작하는지 찾기
그러므로 10행은 46에서 시작합니다.
45 + 1 = 46
행과 행 사이에 빠지는 수가 없으니, 다음 행은 앞 행이 멈춘 자리를 그대로 이어받는다.
4.OA.C.5Look For A Pattern5STEP 5
10행을 따라가 8번째 수 찾기
8번째까지 7만 더해 53입니다.
46 + (8 - 1) = 46 + 7 = 53
첫 번째에서 여덟 번째까지 가는 것은 여덟 걸음이 아니라 일곱 걸음이다. 나무를 심을 때 나무 수와 간격 수를 헷갈리지 않는 것과 같은 조심성이다.
4.OA.A.3Make A Systematic List한 줄의 첫째 항에서 여덟째 항으로 가는 것은 여덟 걸음이 아니라 일곱 걸음이다.
왜?
각 걸음은 이웃한 두 항 사이에 정확히 하나씩 놓이므로, 걸음과 항 사이의 틈이 하나씩 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
한 줄의 항들은 매번 하나씩 올라가므로, 여덟째 항은 첫째 항에 그 간격을 일곱 번 되풀이해 더한 것이다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
6STEP 6
행의 반대쪽 끝에서 되짚어 확인하기
행의 끝 55에서 되짚어도 53이 맞습니다.
10행: 46,47,48,49,50,51,52,53,54,55
반대쪽 끝에서 자리를 세어 보면 앞의 계산을 다시 하지 않고도 한 칸 어긋난 실수를 잡아낼 수 있다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List정답
53
46 + 7 = 53
답은 46부터 55까지인 10행 안에 있어야 하는데 53이 그 안에 든다. 10개 중 여덟 번째답게 행의 오른쪽 끝에 가까운 것도 자연스럽다. 다른 길로 가도 같은 자리에 닿는다. 9행까지 쓴 수가 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45개이므로 10행의 8번째 수는 전체에서 45 + 8 = 53번째로 쓴 수인데, 놓인 수가 곧 1부터 차례로 세는 수이므로 그 값이 53이다.
핵심 정리
행마다 어디서 끝나는지만 따라가 보자. 1, 3, 6, 10, 15, … 이렇게 적어 두면 찾는 수는 다음 행에서 몇 걸음만 걸으면 나온다!
- 그림에서 각 행에 놓인 수의 개수 읽기
- 각 행이 어떤 수로 끝나는지 살펴보기
- 끝수를 9행까지 이어 가기
- 10행이 어디서 시작하는지 찾기
- 10행을 따라가 8번째 수 찾기
- 행의 반대쪽 끝에서 되짚어 확인하기
이어서 풀어볼까요