문제
모양의 개수
성냥개비를 늘어놓아 점점 커지는 정삼각형을 만듭니다. 1번째는 작은 삼각형 1개, 2번째는 4개, 3번째는 9개로 나뉩니다. 같은 방식으로 계속 이어집니다. 9번째 모양에 쓰인 성냥개비 수를 구합니다.
사고력 · 초4-1 수열의 활용
내 답
조심 작은 삼각형이 81개니 3배라고 하고 싶지만 변을 이웃과 함께 쓰므로 그렇게 세면 크게 넘칩니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 9번째 모양을 다 그린 다음 성냥개비를 하나씩 세는 방법은 오래 걸리고 틀리기도 쉽습니다. 그러니 먼저 눈앞에 있는 작은 세 모양의 개수를 적어 두고, 한 단계 넘어갈 때마다 몇 개가 늘어나는지를 봅니다. 새로 붙는 성냥개비가 정확히 어떤 것인지까지 말할 수 있게 되면 그 규칙은 믿어도 되고, 그림을 그리지 않고도 9번째로 바로 건너뛸 수 있습니다.
1STEP 1
그림에 있는 세 모양의 개수 세기
그려진 세 모양은 성냥개비가 3, 9, 18개입니다.
3, 9, 18, …
그림에서 수를 그대로 읽어 내는 것이 가장 안전한 첫걸음입니다. 이 세 개수가 뒤에 나올 모든 이야기와 맞아떨어져야 하는 증거가 됩니다.
4.OA.C.5Draw A Diagram2STEP 2
한 번에 몇 개씩 늘어나는지 보기
늘어나는 양이 6, 9로 3씩 커집니다.
9-3=6, 18-9=9
전체 개수만 들여다보면 규칙이 잘 안 보이지만, 차이를 적어 보면 훨씬 읽기 쉬운 수의 줄이 나타납니다. 규칙을 찾을 때 가장 먼저 해 볼 일입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
늘어나는 양이 왜 3씩 커지는지 알아보기
n번째로 갈 때 3 × n개가 더해지기 때문입니다.
n번째에서 늘어나는 성냥개비 = 3 × n
한 단계 커지는 장면 하나만 그림으로 확인해도 모든 단계에 그대로 쓸 수 있습니다. 어느 단계나 똑같은 방식으로 커지기 때문입니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
줄을 하나씩 더해 9번째까지 가기
차례로 더해 가면 9번째는 135개입니다.
3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, 108, 135
아홉 개를 다 적어도 덧셈은 여덟 번뿐이고, 하나하나가 두 자리 수 덧셈이라 한 줄에 암산으로 처리할 수 있습니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List5STEP 5
곱셈 한 번으로 같은 답 얻기
곱셈으로도 3 × 45 = 135로 같습니다.
3×(1+2+…+9)=3 × 45=135
아홉 개의 곱에서 공통인 3을 묶어 내면 긴 덧셈이 곱셈 한 번으로 줄어듭니다. 1부터 9까지의 합도 1과 9, 2와 8, 3과 7, 4와 6을 짝지어 10을 네 개 만들고 5를 더하면 45로 금방 나옵니다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern아홉 개의 곱에서 공통인수 3을 뽑아내면 긴 덧셈이 쉬운 곱셈 하나가 된다.
왜?
이것의 세 배와 저것의 세 배는 둘을 합친 것의 세 배이므로, 공통인수를 합 전체에서 한꺼번에 들어낼 수 있다.
🧱분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
왜?
괄호 안에 남은 합은 1부터 9까지이며, 양 끝을 짝지어 같은 양으로 만들면 금세 더해진다.
🧱양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
6STEP 6
눈에 보이는 모양으로 규칙 검사하기
보이는 모양 3개에도 규칙이 모두 맞습니다.
3 × 1=3, 3 × 3=9, 3 × 6=18
눈으로 확인할 수 있는 경우를 하나도 빠짐없이 맞히는 규칙이라면, 눈으로 볼 수 없는 경우에도 믿고 써도 됩니다.
4.OA.C.5Guess And Check정답
135 개
3 × (1 + 2 + … + 9) = 3 × 45 = 135
135는 성냥개비의 개수이니 자연수여야 하고 18보다 커야 하는데 둘 다 맞습니다. 크기도 어림해 봅시다. 9번째 모양에는 작은 삼각형이 9 × 9 = 81개 들어 있는데, 성냥개비를 하나도 함께 쓰지 않는다면 81 × 3 = 243개가 필요합니다. 실제로는 대부분의 성냥개비를 작은 삼각형 두 개가 나누어 쓰므로 답은 243의 절반과 243 사이에 있어야 하고, 135는 그 사이에 잘 들어갑니다. 마지막으로 135는 3으로 나누어떨어지는데, 성냥개비가 세 방향으로 45개씩 똑같이 나뉘므로 반드시 그래야 하는 성질입니다.
핵심 정리
모양이 커질 때는 전체를 다시 세지 말고 새로 붙는 줄에 몇 개가 들어가는지만 세어 보세요. 9번째 모양은 결국 3 × (1+2+...+9)랍니다.
- 그림에 있는 세 모양의 개수 세기
- 한 번에 몇 개씩 늘어나는지 보기
- 늘어나는 양이 왜 3씩 커지는지 알아보기
- 줄을 하나씩 더해 9번째까지 가기
- 곱셈 한 번으로 같은 답 얻기
- 눈에 보이는 모양으로 규칙 검사하기
이어서 풀어볼까요