문제
같은 도형 붙이기
크기가 같은 정사각형을 변끼리 딱 맞게 이어 붙인 도형을 폴리오미노라고 합니다. 정사각형 4개짜리를 테트로미노, 5개짜리를 펜토미노라고 합니다. 돌리거나 뒤집어 겹치면 같은 모양으로 셉니다. 테트로미노와 펜토미노를 모두 찾습니다.
사고력 · 초4-1 도형 붙이기와 나누기
내 답
조심 좌우가 다른 모양을 둘로 세기 쉽지만, 뒤집어 겹치면 한 가지입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 아무렇게나 떠오르는 대로 그리면 반드시 빠뜨리거나 겹치게 된다. 그래서 차례를 정해 키워 나간다. 정사각형 1개, 2개, 3개짜리 작은 경우부터 시작해서, 3개짜리 도형에 정사각형 하나를 붙일 수 있는 모든 자리에 붙여 4개짜리를 만들고, 다시 4개짜리에 하나를 붙여 5개짜리를 만든다. 종이로 정사각형을 오려 붙이거나 모눈에 그려 놓고 종이를 돌려 보면 중복 검사를 정직하게 할 수 있다. 새로 그린 모양이 돌리거나 뒤집어서 이미 있는 모양과 포개지면 새것이 아니다. 마지막에는 각 도형이 들어가는 가장 작은 직사각형을 기준으로 목록을 다시 정리한다. 전혀 다른 방식으로 정리해 보면 빠뜨린 것이 드러나기 때문이다.
1STEP 1
같은 모양이란 무엇인지 못 박기
돌리거나 뒤집어 겹치면 같은 모양이라고 못 박습니다.
돌리거나 뒤집어도 도형이 늘어나거나 끊어지지 않으므로 조각 자체는 그대로다. 오려 낸 종이를 서로 포개 보기만 하면 아이도 중복 여부를 스스로 가릴 수 있다.
8.G.A.2Create A Physical Representation2STEP 2
정사각형 1개, 2개, 3개로 몸풀기
1개는 1가지, 2개는 1가지, 3개는 2가지입니다.
1 개 → 1, 2 개 → 1, 3 개 → 2
눈으로 확인할 수 있을 만큼 작은 경우에 '키우고 지우기'를 연습해 두면, 어려운 경우에 쓸 때 그 방법을 믿을 수 있다.
1.G.A.2Solve An Easier Related Problem3STEP 3
3개짜리 두 도형에서 테트로미노 키우기
3개짜리에 한 칸씩 붙여 테트로미노를 키웁니다.
I, O, L, T, S → 5
4칸짜리 도형 안에는 반드시 3칸짜리 도형이 들어 있다. 그러니 3칸짜리를 빠짐없이 갖춰 놓고 키우면 놓치는 모양이 있을 수 없다.
1.G.A.2Make A Systematic List네 칸짜리 모양은 모두 안에 세 칸짜리 모양을 품고 있으므로, 세 칸짜리의 완전한 목록에서 키워 나가면 아무것도 놓칠 수 없다.
왜?
네 칸짜리 모양의 가장자리에서 아무 칸이나 하나 떼어 내도 남는 것은 여전히 이어진 세 칸짜리 모양이므로, 더 작은 목록에 반드시 있다.
🧱부분집합은 전체의 성질을 물려받는다모든 A가 B라면 모든 B에 참인 것은 모든 A에도 저절로 참이다 — 정사각형은 직사각형 전체에 성립하는 것을 물려받는다.
왜?
새 모양을 어느 세 칸짜리에서 자랐는지로 나누면 모든 모양이 덮이고, 겹치는 것을 한 번에 지울 수 있다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
4STEP 4
뒤집으면 하나로 합쳐지는 자리 살피기
뒤집으면 겹치는 것을 지우면 5가지가 남습니다.
대칭축이 있는지 먼저 살피면 뒤집었을 때 새 모양이 나올지 미리 알 수 있다. 일일이 다시 그려서 견주는 것보다 빠르다.
4.G.A.3Create A Physical Representation5STEP 5
다르게 정리해서 다섯 가지를 확인하기
상자 크기로 다시 세어도 5가지로 같습니다.
1 + 1 + 3 = 5
도형이 들어가는 상자로 나누는 것은 한 칸씩 키우는 것과 규칙이 전혀 다르다. 그래서 두 방법의 개수가 맞아떨어지면 같은 실수를 두 번 한 것이 아니라 진짜 증거가 된다.
1.G.A.2Make A Systematic List6STEP 6
펜토미노를 키우고 상자별로 정리하기
같은 방법으로 펜토미노는 12가지입니다.
1 + 3 + 2 + 6 = 12
도형이 앉는 직사각형별로 묶으면 길고 무섭던 목록 하나가 짧은 목록 넷으로 쪼개진다. 짧은 목록은 칸 하나하나까지 살펴볼 만하다.
1.G.A.2Make A Systematic List7STEP 7
중복 검사를 정직하게 하기
빠짐도 겹침도 없어 답은 5가지와 12가지입니다.
오려 낸 조각을 직접 포개 보면 세기 문제의 두 가지 위험, 곧 두 번 세는 것과 빠뜨리는 것을 공식 없이도 가릴 수 있다.
8.G.A.2Create A Physical Representation정답
5, 12 가지
1 + 1 + 3 = 5, 1 + 3 + 2 + 6 = 12
개수가 늘어나는 모습이 자연스럽다. 정사각형이 1개면 1가지, 2개면 1가지, 3개면 2가지, 4개면 5가지, 5개면 12가지로 늘 커지고 커지는 폭도 점점 커진다. 도형이 커질수록 다음 칸을 붙일 변이 많아지니 그럴 만하다. 두 목록의 도형은 모두 정해진 칸수를 정확히 쓰고, 한 덩어리로 이어져 있으며, 주어진 모눈에 그릴 수 있다. 문제에 보기로 그려진 두 도형도 목록 안에 있다. 보기 테트로미노는 L이고, 네 칸 한 줄에 셋째 칸 위로 한 칸이 붙은 보기 펜토미노는 Y다. 테트로미노를 키워서 센 것과 직사각형으로 갈라 센 것이 둘 다 5로 맞아떨어진다.
핵심 정리
정사각형을 한 칸씩 붙여 가며 모양을 키우고, 새 모양이 나올 때마다 오린 종이를 돌리고 뒤집어 확인해 보세요. 그러면 테트로미노 5가지와 펜토미노 12가지를 하나도 빠뜨리지 않고, 겹치지도 않게 찾을 수 있습니다!
- 같은 모양이란 무엇인지 못 박기
- 정사각형 1개, 2개, 3개로 몸풀기
- 3개짜리 두 도형에서 테트로미노 키우기
- 뒤집으면 하나로 합쳐지는 자리 살피기
- 다르게 정리해서 다섯 가지를 확인하기
- 펜토미노를 키우고 상자별로 정리하기
- 중복 검사를 정직하게 하기
이어서 풀어볼까요