문제
서로 다른 도형 붙이기
크기가 같은 작은 정삼각형 2개와 등변사다리꼴 1개가 있습니다. 사다리꼴은 같은 정삼각형 3개를 이어 붙여 만든 것입니다. 세 도형을 모두 쓰고 같은 길이의 변끼리 통째로 맞대어 붙입니다. 만들어지는 서로 다른 모양의 가짓수를 구합니다.
사고력 · 초4-1 도형 붙이기와 나누기
내 답
조심 붙이는 자리를 세면 여섯 가지 같지만, 돌려서 겹치는 것은 한 가지로 세야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 사다리꼴이 가장 큰 조각이니 이것을 고정해 두고 바탕으로 삼는다. 그러면 남는 결정은 두 삼각형을 어디에 붙이느냐뿐인데, 사다리꼴 둘레의 대부분은 길이가 맞지 않아 붙일 자리가 몇 군데 없다. 그 몇 군데를 정해진 순서로 나열하면 빠뜨리는 경우가 생기지 않는다. 그리고 조각을 종이로 오려 보거나 결과를 그때그때 그려 보면 어떤 배치가 사실은 돌리거나 뒤집은 같은 모양인지 한눈에 알아볼 수 있다.
1STEP 1
변의 길이를 재어 삼각형을 붙일 수 있는 자리 찾기
변 길이를 재면 삼각형은 사다리꼴의 짧은 변에만 붙습니다.
1 + 1 = 2 ≠ 1
무엇이든 붙여 보기 전에 변의 길이부터 견주면 불가능한 배치가 통째로 한 무리 사라진다.
2.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
사다리꼴이 선대칭임을 알아채기
사다리꼴이 좌우 대칭이라 왼쪽과 오른쪽은 같은 자리입니다.
바탕이 되는 조각의 선대칭을 먼저 알아채면 나열할 양이 절반으로 줄어든다. 왼쪽짜리와 오른쪽짜리를 따로 셀 일이 아예 없기 때문이다.
8.G.A.2Draw A Diagram사다리꼴이 자기 자신의 거울상이므로, 왼쪽으로 붙인 배치와 오른쪽으로 붙인 쌍둥이는 같은 모양이다.
왜?
도형 전체를 뒤집어도 모든 길이와 각이 그대로이므로, 뒤집힌 배치는 방향만 반대인 같은 모양이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
배치를 거울 짝으로 묶으면 각 배치가 정확히 한 무리에 들어가므로, 짝마다 하나만 적으면 된다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
3STEP 3
경우 1, 두 삼각형을 모두 사다리꼴에 곧바로 붙이기
둘 다 사다리꼴에 붙이면 서로 다른 모양은 2가지입니다.
{L,R}, {L,T}, {T,R} → 2 shapes
고를 자리가 세 군데뿐이니 두 자리를 짝지어 모두 적어 보는 일은 빠르고 확실하다.
1.G.A.2Make A Systematic List4STEP 4
경우 2, 삼각형 하나는 사다리꼴에, 나머지 하나는 그 삼각형에 붙이기
하나를 다른 삼각형에 이어 붙이면 새 모양은 1가지뿐입니다.
3 × 2 = 6 arrangements → 1 new shape
삼각형을 한 개씩 이어 붙이며 사슬을 늘리면 나열이 짧게 끝나고, 결과를 그때그때 그려 보면 어떤 것이 이미 나온 모양인지 바로 눈에 들어온다.
1.G.A.2Make A Systematic List5STEP 5
서로 다른 모양 모으기
모두 모으면 2 + 1 = 3가지입니다.
2 + 1 = 3
새로 나온 배치를 돌리고 뒤집어 이미 적어 둔 것들과 하나하나 견주고 나면 목록이 완성되고, 그제야 개수를 셀 수 있다.
8.G.A.2Make A Systematic List정답
3 가지
2 + 1 = 3
완성된 도형은 어느 것이나 작은 정삼각형 다섯 개로 이루어진다. 사다리꼴이 세 개 몫이고 낱개 삼각형이 하나씩이기 때문이다. 세 답의 넓이가 모두 같다는 뜻이니 중복해서 세거나 빠뜨린 것이 없다는 좋은 신호다. 세 가지라는 크기도 그럴듯하다. 붙일 자리가 몇 군데 되지 않는 데다 돌리기와 뒤집기가 여러 배치를 하나로 묶어 버리기 때문이다. 한 가지 눈여겨볼 점이 있다. 작은 삼각형 다섯 개가 한 점에 모여 부채처럼 펼쳐진 도형도 종이 위에서는 그려지지만, 그 모양을 만들려면 삼각형을 사다리꼴의 길이 2짜리 아랫변의 절반에만 붙여야 한다. 변끼리 통째로 맞대라는 규칙이 이를 허락하지 않는다.
핵심 정리
어떤 변끼리 맞댈 수 있는지부터 확인하고, 새 도형을 만들 때마다 돌리고 뒤집어 이미 만든 것인지 살펴보세요.
- 변의 길이를 재어 삼각형을 붙일 수 있는 자리 찾기
- 사다리꼴이 선대칭임을 알아채기
- 경우 1, 두 삼각형을 모두 사다리꼴에 곧바로 붙이기
- 경우 2, 삼각형 하나는 사다리꼴에, 나머지 하나는 그 삼각형에 붙이기
- 서로 다른 모양 모으기
이어서 풀어볼까요