문제
전개도의 가짓수
정사각형을 변끼리 이어 붙인 도형 여섯 개가 그려져 있습니다. 전개도라면 접었을 때 정육면체가 빈틈없이 닫혀야 합니다. 남는 칸도 겹치는 칸도 없어야 합니다. 전개도가 아닌 것을 모두 고릅니다.
사고력 · 초5-2 정육면체의 전개도
내 답
조심 칸이 여섯이면 될 것 같지만 2 × 2로 뭉친 곳이 있으면 접히지 않습니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 펼쳐진 그림을 노려보며 접히는 모습을 머릿속으로 그리다 보면 실수가 생깁니다. 그래서 손으로 직접 해 볼 수 있는 방법을 씁니다. 주사위를 도형의 한 칸에 올려놓고 한 칸씩 굴려 도형 전체를 돌아다니게 합니다. 그때그때 종이에 닿아 있는 주사위 면을 그 칸에 찍어 준다고 생각하세요. 여섯 칸에 서로 다른 여섯 면이 찍히면 그 도형은 전개도입니다. 그것이 바로 "모든 면이 한 번씩 덮인다"는 뜻이니까요. 굴리기는 손으로 하는 일이라 몇 번이든 다시 해 볼 수 있고, 완성된 정육면체를 머릿속에 그릴 필요도 없습니다. 굴리기 전에 두 가지 관문을 먼저 통과시켜 몇몇 도형은 아예 걸러 냅니다. 칸이 정확히 6개인지 세어 보고, 정사각형 4칸이 2 × 2로 뭉쳐 있는 곳이 있는지 살펴보는 것입니다. 마지막으로 여섯 도형의 판정을 짧은 목록으로 정리해 하나도 건너뛰지 않게 합니다.
1STEP 1
첫째 관문 — 칸이 정확히 6개여야 한다
②는 칸이 다섯 개뿐이라 지웁니다.
(정육면체의 면의 수) = 6, (②의 칸 수) = 5, 5 ≠ 6
칸을 세어 정육면체의 면 6개와 견주는 일은 손가락으로 짚으며 할 수 있는 짝짓기입니다. 접는 모습을 떠올리기도 전에 도형 하나가 정리됩니다.
K.G.B.4Make A Systematic List2STEP 2
둘째 관문 — 2 × 2로 뭉친 곳이 있으면 안 된다
④는 2 × 2로 뭉친 곳이 있어 지웁니다.
(한 꼭짓점에 모이는 면의 수) = 3, (④에서 한 점에 모인 칸 수) = 4
정육면체를 손에 들고 꼭짓점에 면이 몇 개 모이는지 세어 보면, 상상해야 하는 일이 세는 일로 바뀝니다. 2 × 2 뭉치는 눈으로도 금방 찾을 수 있습니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships2 곱하기 2 덩어리를 품은 도형은 결코 전개도가 될 수 없는데, 그 네 칸이 한 꼭짓점에 겹쳐 쌓이기 때문이다.
왜?
정육면체의 어느 꼭짓점에서도 만나는 면은 셋뿐이므로, 넷을 요구하는 덩어리는 접어 보기도 전에 무너진다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
접기는 각 칸을 정확히 한 면으로 보내야 하므로, 두 칸이 같은 면에 내려앉는다면 그 도형은 닫힐 수 없다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
주사위 굴리기 준비하기
남은 것은 주사위를 굴려 살펴봅니다.
주사위를 그림 위로 굴리면 접는 과정이 변 하나씩 그대로 재현됩니다. 완성된 정육면체를 머릿속에 그리기 어려운 사람도 물건을 움직이는 것만으로 옳은 판정을 내릴 수 있습니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation4STEP 4
⑤에 굴려 보기 — 두 칸이 같은 면에 겹친다
⑤는 두 칸이 같은 면에 겹칩니다.
(1행1열)과 (3행3열) → 같은 면
세로 4칸은 상자를 두르는 종이 띠와 같습니다. 네 칸을 지나면 처음 자리로 돌아오므로, 띠에 매달린 두 칸짜리 팔은 새로 앉을 곳이 없습니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation5STEP 5
①, ③, ⑥에 굴려 보기 — 여섯 면이 모두 다르게 나온다
①, ③, ⑥은 여섯 면이 모두 다릅니다.
6칸 → 서로 다른 6면 = 마주 보는 3쌍
마주 보는 세 쌍을 읽어 내는 것은 접기가 잘되었는지 확인하는 두 번째 방법입니다. 여섯 면이 세 쌍으로 나뉘는 것이 바로 정육면체가 만들어지는 방식이니까요.
6.G.A.4Create A Physical Representation6STEP 6
판정 모으기
전개도가 아닌 것은 ②, ④, ⑤입니다.
전개도가 아닌 것 = ②, ④, ⑤
도형마다 한 줄씩 판정을 순서대로 적어 두면 여섯 가지를 정직하게 다 살펴봤는지 목록 자체가 보여 줍니다.
1.G.A.2Draw A Diagram정답
②, ④, ⑤
여섯 중 셋이 탈락하는데, 전개도와 그럴싸한 가짜를 가려낼 줄 아는지 묻는 문제라면 그럴듯한 비율입니다. 게다가 세 도형이 저마다 다른 이유로, 그것도 확인할 수 있는 이유로 탈락합니다. 어쩐지 아닌 것 같다는 느낌이 아닙니다. 수도 맞습니다. ②는 정말 칸이 5개이고, ④에는 정말 꽉 찬 2 × 2 뭉치가 있으며, ⑤는 세로 4칸이 네 걸음 만에 띠로 닫히므로 정말 두 칸이 한 면으로 갑니다. 살아남은 셋은 여섯 칸이 마주 보는 세 쌍으로 정확히 갈리는데, 이것이 정육면체가 요구하는 조건입니다. 한 가지 더, 살아남은 셋은 모두 이 단원에서 배운 정육면체의 전개도 열한 가지 안에 들어 있는 모양입니다.
핵심 정리
칸을 세고, 2 × 2로 뭉친 곳이 있는지 찾고, 그다음 주사위를 도형 위로 굴려 보세요. 두 칸에 주사위의 같은 면이 찍히면 그 도형은 전개도가 아닙니다!
- 첫째 관문 — 칸이 정확히 6개여야 한다
- 둘째 관문 — 2 × 2로 뭉친 곳이 있으면 안 된다
- 주사위 굴리기 준비하기
- ⑤에 굴려 보기 — 두 칸이 같은 면에 겹친다
- ①, ③, ⑥에 굴려 보기 — 여섯 면이 모두 다르게 나온다
- 판정 모으기
이어서 풀어볼까요