문제
피보나치 수열
1월에 아기 토끼 한 쌍이 태어납니다. 아기 한 쌍은 한 달 뒤에 어른이 됩니다. 어른이 된 쌍은 한 달을 더 기다렸다가 매달 아기 한 쌍을 낳습니다. 같은 해 7월에 토끼가 몇 쌍인지 구합니다.
사고력 · 초4-1 수열의 활용
내 답
조심 어른이 되면 바로 낳을 것 같지만 한 달을 더 기다린 뒤부터 낳습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 1월과 7월 사이는 여섯 걸음뿐이므로, 아기 쌍과 어른 쌍을 따로 적는 표를 만들어 한 달씩 차근차근 내려가는 것이 가장 안전하다. 두 무리는 움직이는 방식이 다르고, 이 문제가 어긋나는 자리도 바로 둘을 섞을 때다. 표를 다 채운 다음에는 합계를 위에서부터 훑으며 규칙을 찾는다. 계산이 맞는지 확인도 되고, 수가 왜 그런 식으로 늘어나는지도 설명해 주기 때문이다.
1STEP 1
아기와 어른, 두 칸으로 나누기
표를 아기와 어른 두 칸으로 나눕니다.
아기와 어른을 갈라 두면 말로 길게 늘어놓은 규칙이 짧은 지시 두 줄로 바뀐다. 그러면 달마다 문제를 다시 읽지 않아도 된다.
4.OA.C.5Make A Systematic List2STEP 2
1월과 2월
1월과 2월은 모두 1쌍입니다.
1월: 1 + 0 = 1, 2월: 0 + 1 = 1
한 달 동안 수가 제자리인 것이 기다리는 규칙을 제대로 지켰다는 표시다. 갓 어른이 된 쌍은 곧바로 낳을 수 없다.
4.OA.C.5Make A Systematic List3STEP 3
3월과 4월
3월은 2쌍, 4월은 3쌍이 됩니다.
3월: 1 + 1 = 2, 4월: 1 + 2 = 3
부모가 되는 것은 지난달에 이미 어른이던 쌍뿐이다. 그래서 새로 태어나는 아기 수는 지난달 어른 칸의 수를 그대로 옮겨 적으면 된다.
4.OA.C.5Make A Systematic List지난달에 이미 어른이었던 짝만 부모가 되므로, 이달의 새끼 수는 지난달의 어른 수를 그대로 옮겨 온 것이다.
왜?
어른 짝 하나가 새끼 짝을 정확히 하나 낳으므로, 어른과 새 새끼가 하나씩 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
이달의 전체는 지난달의 짝들과 새 새끼를 합친 것이므로, 표는 이미 아는 두 열을 더해 자라난다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
5월과 6월
5월은 5쌍, 6월은 8쌍입니다.
5월: 2 + 3 = 5, 6월: 3 + 5 = 8
새 줄은 바로 윗줄에서 쉬운 덧셈 두 번으로 만들어진다. 그래서 어느 달도 건너뛸 수 없고 같은 토끼를 두 번 셀 일도 없다.
4.OA.C.5Make A Systematic List5STEP 5
7월
7월은 5 + 8 = 13쌍입니다.
7월: 5 + 8 = 13
마지막 줄도 앞의 모든 줄에서 쓰던 그 덧셈 두 번으로 얻는다. 여기까지 표가 맞았다면 이 줄도 맞다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List6STEP 6
합계 칸을 따라 규칙 읽기
합계는 앞의 두 달을 더한 값으로 이어집니다.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
합계끼리 이어 주는 규칙을 찾으면 13에 이르는 두 번째 길이 생긴다. 아기 칸과 어른 칸에 기대지 않는 확인이다.
4.OA.C.5Look For A Pattern7STEP 7
가계도를 그려 확인하기
가계도를 그려 세어도 13쌍입니다.
1 + 5 + 6 + 1 = 13
표가 아니라 그림에서도 똑같이 13이 나온다는 것은 든든하다. 서로 다른 두 방법이 맞아떨어지려면 둘 다 옳아야 하기 때문이다.
4.OA.C.5Draw A Diagram정답
13 쌍
5 + 8 = 13
합계 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13은 줄곧 커지기만 한다. 죽는 토끼가 없으니 그래야 맞다. 그러면서도 매달 두 배에는 못 미친다. 13은 2 × 8보다 작은데, 어린 쌍이 아직 자라는 동안 나이 든 쌍만 낳으니 이것도 맞는 모습이다. 7월 토끼를 다른 쪽으로 세어 보아도 어른 8쌍에 아기 5쌍이니 13쌍이고, 7월의 아기 5쌍은 6월에 어른이던 5쌍과 딱 맞아떨어진다. 마지막으로 답은 쌍의 수이므로 자연수여야 하는데 실제로 그렇다.
핵심 정리
아기와 어른을 따로 적어 보세요. 이번 달 전체 쌍의 수는 바로 앞 두 달을 더한 값이랍니다!
- 아기와 어른, 두 칸으로 나누기
- 1월과 2월
- 3월과 4월
- 5월과 6월
- 7월
- 합계 칸을 따라 규칙 읽기
- 가계도를 그려 확인하기
이어서 풀어볼까요