문제
거울에 비친 모양
정육각형이 세 대각선으로 정삼각형 여섯 개로 나뉘고 그 안에 무늬가 있습니다. 거울은 오른쪽 위 꼭짓점에서 왼쪽 아래 꼭짓점까지 대각선을 따라 세워져 있습니다. ㉠ 방향과 ㉡ 방향에서 각각 거울을 봅니다. 보이는 무늬와 비친 모양이 합쳐진 그림을 그립니다.
사고력 · 초4-1 도형의 이동
내 답
조심 육각형 전체가 보일 것 같지만 거울 뒤쪽 절반은 가려져 그림에 들어오지 않습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 이 문제를 여는 열쇠는 딱 하나입니다. 거울은 건너편 절반을 보여 주지 않고, 이쪽 절반을 두 번 보여 준다는 것입니다. 그러니 답은 삼각형 여섯 개가 아니라 세 개의 무늬로 만들어집니다. 그래서 삼각형을 하나씩 짚어 가며, 보는 사람 쪽에 있는 세 개는 그대로 두고 각각을 거울선 건너 마주 보는 삼각형으로 옮겨 그리기로 합니다. 삼각형 여섯 개를 정해진 차례로 훑으면 빠뜨릴 일이 없고, 진짜 거울을 종이에 세워 보면 결과를 한순간에 확인할 수 있습니다.
1STEP 1
보는 사람에게 실제로 무엇이 보이는지 따져 보기
보는 쪽 절반만 보이고 먼 절반은 가려집니다.
접어서 포개 보는 대칭축 이야기와 똑같습니다. 어느 쪽 절반을 남기든 거울선이 나머지 절반을 그 복사본으로 만들어 주니, 완성된 그림은 언제나 그 대각선을 따라 접으면 자기 자신에 딱 포개집니다.
4.G.A.3Visualize Spatial Relationships2STEP 2
삼각형 여섯 개를 짝지어 두기
거울선을 사이에 둔 삼각형끼리 짝을 지어 둡니다.
세 짝을 미리 적어 두면 그리는 일이 작은 옮겨 그리기 세 번으로 쪼개집니다. 삼각형 하나를 빠뜨리거나 두 번 그리는 일이 생길 수 없습니다.
4.G.A.3Make A Systematic List3STEP 3
㉠에서 본 모양 만들기: 가까운 절반은 그대로 옮기기
㉠에서는 가까운 삼각형 셋을 그대로 옮깁니다.
보는 사람에게 가까운 절반은 거울이 조금도 건드리지 않습니다. 원래 그림에서 그대로 베껴 그리면 됩니다.
4.G.A.1Draw A Diagram4STEP 4
㉠에서 본 모양 만들기: 조각마다 거울선 너머로 옮겨 그리기
그 무늬를 거울선 너머로 뒤집어 그리면 ㉠의 답입니다.
색칠된 조각의 꼭짓점은 저마다 거울선까지의 거리를 그대로 지킵니다. 그러니 어느 대각선의 중점은 마주 보는 대각선의 중점으로 갈 수밖에 없고, 그것만으로 옮겨 그릴 자리가 정확히 정해집니다.
4.G.A.3Draw A Diagram색칠된 조각의 모든 꼭짓점은 거울선에서의 거리를 그대로 지키며, 그것만으로 옮겨 그릴 조각의 자리가 정확히 정해진다.
왜?
거울은 각 점을 선 너머 정확히 같은 거리에 있는 점으로 곧장 보낸다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
왜?
가까운 쪽의 각 삼각형은 마주 보는 짝이 정확히 하나씩 있으므로, 옮겨 그리기는 작은 일 세 가지이며 어떤 조각도 두 번 그려지지 않는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
5STEP 5
㉡에서 본 모양 만들기: 가까운 절반은 그대로 옮기기
㉡에서는 반대쪽 삼각형 셋이 가까운 절반입니다.
보는 자리를 바꾼다고 종이 위의 무늬가 달라지지는 않습니다. 달라지는 것은 거울이 어느 쪽 절반을 두 번 보여 주느냐뿐입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram6STEP 6
㉡에서 본 모양 만들기: 조각마다 거울선 너머로 옮겨 그리기
마찬가지로 뒤집어 옮기면 ㉡의 답입니다.
점 하나는 가장 다루기 쉬운 경우입니다. 거울선 건너 같은 거리로 곧장 옮겨 가면 그만이고, 그 자리가 바로 마주 보는 삼각형의 한가운데입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram7STEP 7
두 답이 대칭인지 확인하기
두 그림 모두 거울선에 대해 대칭입니다.
대칭축이 있는지 살피는 것은 4학년에서 배우는 기술인데, 여기서는 검산에 그치지 않고 답이 맞다는 것의 뜻 자체입니다.
4.G.A.3Create A Physical Representation정답
보이는 절반과 그 대칭으로 이루어진 육각형 둘
두 답 모두 거울이 서 있던 대각선을 따라 접으면 자기 자신에 포개져야 하는데 실제로 그렇습니다. 칠해진 양도 그럴듯합니다. 답마다 삼각형 세 개 분량의 무늬가 두 번씩 그려졌으니 칠해진 넓이는 원래 그 절반이 갖고 있던 넓이의 꼭 두 배이고, 가려진 절반에 있던 조각은 어느 답에도 들어갈 수 없습니다. 세부도 맞춰 봅니다. 작은 원은 ㉡ 쪽에 살고 있으니 ㉡의 답에는 나오고 ㉠의 답에는 나오지 않으며, 가는 선은 반대로 ㉠의 답에만 나옵니다. 둘 사이에 거울이 서 있다면 마땅히 그래야 하는 결과입니다.
핵심 정리
거울은 건너편 절반을 절대 보여 주지 않아요. 가까운 절반을 두 번 보여 줄 뿐이라서, 보이는 그림은 언제나 거울선을 따라 접으면 자기 자신에 포개진답니다.
- 보는 사람에게 실제로 무엇이 보이는지 따져 보기
- 삼각형 여섯 개를 짝지어 두기
- ㉠에서 본 모양 만들기: 가까운 절반은 그대로 옮기기
- ㉠에서 본 모양 만들기: 조각마다 거울선 너머로 옮겨 그리기
- ㉡에서 본 모양 만들기: 가까운 절반은 그대로 옮기기
- ㉡에서 본 모양 만들기: 조각마다 거울선 너머로 옮겨 그리기
- 두 답이 대칭인지 확인하기
이어서 풀어볼까요