문제
원 위의 점을 이은 선분
원 위에 8개의 점이 일정한 간격으로 찍혀 있습니다. 8개 점을 모두 써서 선분 4개를 긋되 어떤 두 선분도 서로 만나지 않아야 합니다. 모양이 같아도 끝점이 다르면 다른 경우입니다. 그런 방법이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초3-2 원과 도형의 수
내 답
조심 1번 점이 어느 점과도 이어질 것 같지만, 한쪽에 홀수 개를 남기면 그쪽 점 하나가 반드시 건너가 만납니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 점 8개의 경우를 한 번에 손으로 나열하면 빠뜨리거나 겹치기 쉽다. 그래서 먼저 점 2개, 4개, 6개의 더 쉬운 문제로 줄여 가짓수를 구하고, 그 수들에서 규칙을 찾은 뒤 점 8개를 빠짐없이.겹침없이 나열한다.
1STEP 1
가장 작은 경우로 '만나지 않기'를 이해하기
점 4개는 2가지, 점 6개는 5가지입니다.
2개 → 1, 4개 → 2
작은 경우를 직접 그려 보면 '서로 만나지 않는다'가 무엇인지 3학년도 눈으로 확인할 수 있다.
2.G.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
점 6개의 경우로 규칙을 키우기
1번 점은 양쪽에 짝수를 남겨야 해 2, 4, 6, 8번과만 이어집니다.
6개 → 5
점이 두 개 늘 때마다 가짓수가 크게 늘어나므로, 점 8개는 5가지보다 분명히 많을 것이라 짐작할 수 있다.
2.G.A.1Solve An Easier Related Problem3STEP 3
한 점이 어디로 이어질 수 있는지 생각하기
각 선택이 남기는 호는 이미 푼 작은 문제가 됩니다.
1 - 2, 1 - 4, 1 - 6, 1 - 8
한쪽에 점이 홀수로 외롭게 남으면 그 점이 건너편으로 이어져야 해서 반드시 만난다. 그래서 짝수로 나누는 짝만 살아남는다.
3.OA.D.9Make A Systematic List4STEP 4
각 경우의 가짓수를 세어 더하기
네 경우를 더하면 5 + 2 + 2 + 5 = 14입니다.
5 + 2 + 2 + 5 = 14
1번의 짝으로 경우를 나누면 모든 방법이 정확히 한 상자에만 들어가므로, 상자들을 더하면 각 방법을 꼭 한 번씩 센다.
3.OA.C.7Make A Systematic List첫 점이 어느 점과 이어지는지로 배치를 나누면 모든 배치가 정확히 한 상자에 들어간다.
왜?
어떤 배치에서든 1번 점의 짝은 정확히 하나이므로, 한 배치가 두 상자에 동시에 들어갈 수 없다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
상자들은 모든 배치를 덮으면서 겹치지 않으므로, 상자별 개수를 더하면 각 배치가 정확히 한 번씩 세어진다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
5STEP 5
가짓수의 규칙 확인하기
1, 2, 5, 14로 이어지는 수열과도 맞아떨어집니다.
1, 2, 5, 14
깔끔하게 커지는 수열의 끝에 14가 정확히 놓이는 것은 빠뜨리거나 겹쳐 세지 않았다는 든든한 증거이다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
14 가지
5 + 2 + 2 + 5 = 14
14는 점 6개의 5가지, 점 4개의 2가지보다 크다. 점이 늘면 배치할 여지가 많아지므로 타당하다. 또한 만나도 되게 8개를 잇는 전체 105가지보다는 훨씬 작은데, 만나지 않기 규칙이 대부분의 경우를 걸러 내므로 합리적이다.
핵심 정리
큰 세기 문제는 이미 푼 작은 문제로 쪼개어 더하면 된다. 그러면 점 8개도 5 + 2 + 2 + 5 = 14처럼 친근해진다!
- 가장 작은 경우로 '만나지 않기'를 이해하기
- 점 6개의 경우로 규칙을 키우기
- 한 점이 어디로 이어질 수 있는지 생각하기
- 각 경우의 가짓수를 세어 더하기
- 가짓수의 규칙 확인하기