문제
작아지는 도형
첫 번째 도형은 전체가 색칠된 정삼각형입니다. 단계마다 색칠된 모든 삼각형을 작은 삼각형 4개로 나누고 가운데 하나를 비웁니다. 그래서 매 단계 4개 중 3개만 색칠된 채 남습니다. 네 번째 도형에서 색칠한 부분이 전체의 얼마인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 분수의 의미
내 답
조심 네 번째 도형이니 3/4을 네 번 곱하고 싶지만, 첫 도형이 1이라 곱하는 것은 세 번입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 단계마다 색칠된 4개 중 3개를 남기므로 색칠한 양은 매번 3/4씩 곱해집니다(패턴 찾기). 처음 몇 도형을 직접 구해 보면(더 쉬운 문제로 줄이기) 곱하는 규칙이 보이고, 한 단계를 '4로 나누고 3개 남기기'로 보면(작은 문제로 쪼개기) 곱셈이 분명해집니다.
1STEP 1
첫 번째 도형: 전체가 색칠됨
첫 번째 도형은 전체가 칠해져 1입니다.
첫 번째 도형 = 1
가장 단순한 경우인 전체 도형에서 시작하면 패턴을 키워 나갈 분명한 기준이 생깁니다.
3.NF.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
두 번째 도형: 4개 중 3개 남기기
가운데를 비우면 두 번째는 3/4입니다.
1 × 3/4 = 3/4
똑같은 4조각 중 1개를 비우면 4개 중 3개가 남는데, 이는 '똑같은 4부분 중 3부분'을 분수로 읽는 것입니다.
3.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
세 번째 도형: 색칠된 삼각형마다 다시 적용
한 번 더 하면 3/4의 3/4이라 9/16입니다.
3/4 × 3/4 = 9/16
각 조각에 같은 규칙을 적용하므로 색칠한 전체 양이 매 단계 똑같이 3/4배로 줄어드는 깔끔한 반복 패턴입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern칠해진 삼각형마다 같은 규칙을 적용하면 칠해진 양이 매 단계마다 똑같이 4분의 3으로 줄어든다.
왜?
칠해진 조각마다 자기 자신의 같은 몫을 잃으므로, 조각이 몇 개든 칠해진 전체는 같은 비로 줄어든다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
왜?
같은 크기 4조각 중 3조각을 남기는 것이 바로 4분의 3이라는 분수가 뜻하는 바이므로, 그 단계를 분수 하나로 적을 수 있다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
4STEP 4
네 번째 도형: 3/4을 한 번 더 곱하기
세 번째로 3/4을 곱해 27/64입니다.
9/16 × 3/4 = 27/64
색칠된 작은 삼각형을 세면 네 번째 도형은 똑같은 작은 삼각형 64개 중 27개가 색칠되어 정확히 27/64입니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern정답
27/64
단계마다 색칠된 넓이가 줄어들므로 분수가 작아져야 합니다: 1, 그다음 3/4, 9/16(약 0.56), 27/64(약 0.42). 0보다는 크면서 꾸준히 작아지는데, 가운데를 계속 비우는 도형과 잘 맞습니다. 세는 방법도 일치합니다: 네 번째 도형은 4x4x4 = 64개의 작은 삼각형으로 나뉘고 그중 3x3x3 = 27개가 색칠되어 있습니다.
핵심 정리
단계마다 4개 중 3개를 남기니 매번 3/4을 곱하면 돼요 - 작은 삼각형 64개 중 27개, 모두 3학년 사고예요!
- 첫 번째 도형: 전체가 색칠됨
- 두 번째 도형: 4개 중 3개 남기기
- 세 번째 도형: 색칠된 삼각형마다 다시 적용
- 네 번째 도형: 3/4을 한 번 더 곱하기
이어서 풀어볼까요